Question

矩阵分析 (一) 线性空间和线性变换

Answer 1

  我们曾在线性代数里学过向量空间，它是由向量做成的集合。在这个集合里向量可以相加，向量可以乘以一个倍数，由此我们可以讨论向量的线性组合、向量的线性相关等概念。

  如果上述运算满足以下规则，则称 为数域 上的 线性空间 。 中的元素也称为向量。

  解：

  令其对应项相等即可。

  一般来说，一个元素在不同的基底下有不同的坐标，它们的坐标有什么关系呢？

  设 是 上的 维线性空间， ， ， ， 和 ， ， ， 是 的两个 不同的基底 ，因为 ， ， ， 是基底，所以 ， ， ， 可以被这个基底线性表达，这两个基底的关系是：

  利用 过渡矩阵 就可以得到这个元素的两个坐标之间的关系：

  我们知道三维线性空间 的二维平面 也是一个线性空间，这种类型的空间叫作 子空间 。

  这个子空间叫做 和 的 和子空间 。

  由两个子空间 ， 生成的子空间的维数 , 与原来的子空间的维数之间有一个关系，称之为 维数定理 ，即：

  这个几个概念比较重要，需要记住。

  则称 为 上的 线性变换 。线性变换保持 上的运算。

  上面这个线性变换的公式需要记住，经常会考这个改变以及以下变种。比如下文的线性变换的矩阵的公式：

  由：

  能得到：

  这时如果知道：

  即可求出：

  等于：

  等于：

  可以证明，线性空间中的所有线性变换也做成一个线性空间，记作

   像子空间 是由 中所有元素的像构成的，即任取 ，则一定存在 ，使得 。

   核子空间 是由所有 中的一些元素构成的，这些元素在线性变换的作用下是零。

   上的所有线性变换构成的子空间是一个比较抽象的空间，我们知道一些具体的线性变换，但是任意一个线性变换是什么样子的，怎么表达呢？

  设 ，

  可以看出，决定线性变换结果的是：

  即基底在这个线性变换之下变成了什么形式。

  因为 ，仍然是 中的元素，当然可以被 的基底表达：

   为线性变换 在基底 下的矩阵。

  可见每一个 线性变换实际上与一个矩阵相对应 ，反过来，每一个矩阵也对应一个线性变换，即给定一个矩阵 ,只要定义：

  则这个矩阵对应一个线性变换。