已知a＞0,b＞0,且a+b=1,求a^2+b^3的最小值
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a=1-b,
w=a^2+b^3=(1-b)^2+b^3=1-2b+b^2+b^3,记为f(b),0<b<1,
f'(b)=3b^2+2b-2=3[b-(-1-√7)/3][b-(-1+√7)/3],
0<b<(-1√7)/3时f'(b)<0,f(b)是减函数；
(-1+√7)/3<b<1时f'(b)>0,f(b)是增函数。
当b=(-1+√7)/3时
3w=3b^2(b+1)-6b+3=(2-2b)(b+1)-6b+3=-2b^2-6b+5
=(-2/3)(2-2b)-6b+5=(11-14b)/3=[11+(14-14√7)/3]/3
=(47-14√7)/9,
所以w取最小值(47-14√7)/27.
w=a^2+b^3=(1-b)^2+b^3=1-2b+b^2+b^3,记为f(b),0<b<1,
f'(b)=3b^2+2b-2=3[b-(-1-√7)/3][b-(-1+√7)/3],
0<b<(-1√7)/3时f'(b)<0,f(b)是减函数；
(-1+√7)/3<b<1时f'(b)>0,f(b)是增函数。
当b=(-1+√7)/3时
3w=3b^2(b+1)-6b+3=(2-2b)(b+1)-6b+3=-2b^2-6b+5
=(-2/3)(2-2b)-6b+5=(11-14b)/3=[11+(14-14√7)/3]/3
=(47-14√7)/9,
所以w取最小值(47-14√7)/27.
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