Question

√1+x^2的不定积分是什么？

Answer 1

√1+x^2的不定积分是(x/2)√(1 + x^2) + (1/2)ln|x + √(1 + x^2)| + C。

具体解法如下：

设x = tany、dx = sec^2y dy

∫ √(1 + x^2) dx

= ∫ √(1 + tan^2y) * sec^2y dy

= ∫ sec^3y dy

= ∫ secy d(tany)

= secytany - ∫ tany d(secy)

= secytany - ∫ tany * (secytany dy)

= secytany - ∫ (sec^2y - 1) * secy dy

= secytany - ∫ sec^3y dy + ∫ secy dy

=2∫ sec^3y dy = secytany + ∫ secy dy

=∫ sec^3y dy = (1/2)secytany + (1/2)ln|secy + tany| + C

= (x/2)√(1 + x^2) + (1/2)ln|x + √(1 + x^2)| + C

不可积函数

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。