函数零点的7种问题及解法
函数零点的7种问题及解法：
1. 基本问题说明
函数零点及其个数的相关问题包括：根据题设中函数概念、性质等已知条件，求解函数的零点、判定函数整个定义或或某个区间内零点的个数、判定函数零点所在区间(范围)等；
或者根据已知的函数零点及其个数有关条件，逆向求解函数相关问题，如参数问题。
这类问题属于考查的重点。当题目是以三次函数或超越函数方式出现时，一般都有一定难度。
提示：一元二次函数根的分布将作为一个独立问题在后文进行论述。
2. 解决问题的一般方法
1) 判定函数零点所在区间(范围)
由零点存在性定理：
① 如果f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b) < 0，则至少有一个根；逆推，不一定成立！只有单调时才能逆推！
② 判定“零点在某区间(a,b)的个数是唯一”的方法
a) f(x)在区间(a,b)上连续，且f(a)f(b) < 0;
b) 在区间(a,b)上单调。
2) 判定函数零点个数
① 解方程法
当f(x)=0的根易求解时适用。
所求得f(x)=0的根即为所求零点。
提示：x^2+2x+1=0有两个等根，但y=x^2+2x+1只有一个零点——既要知道方程与函数的联系，也要知道二者概念上的差别。
② 导数法
当f(x)=0的根不易求解或无法求解时适用。一般方法为：
a) 需要时，先把方程问题转化为函数零点问题；
b) 然后借助导数来确定函数的单调区间；
c) 每个单调区间上最多有一个零点，所以可以通过判断每一个单调区间端点值的符号，来判断这个区间上有没有零点
i. 符号相反时，有一个零点；
ii. 均为正值或负值时，没有零点；
iii. 如果有一个端点值为0，要看实际题意，例如开、闭区间。
③ 图像法
当f(x)=0的根不易求解或无法求解时适用。
a) 通过图像，判断与x轴的交点个数。此时不用解出具体值，只需分析与判断图像趋势或走向。但不要忘记分析‘增速不同的两根相交曲线’再次相交的可能性。
