Question

求助！！关于高数收敛的问题

求级数 ∑(x-3)^n / n-n^3 的收敛半径和收敛域！！

最好把步骤写下 尤其是收敛域

谢谢！！

Answer 1

令t＝x－3，级数变为∑t^n/(n-n^3)，ρ＝lim(n→∞)|a(n+1)/an|＝lim(n→∞)|n(1-n^2)/(n+1)((n+1)^2-1)|＝lim(n→∞) n/(n+2)＝1，所以收敛半径为R＝1
因为lim(n→∞) |1/(n^3-n)/(1/n^3)|＝lim(n→∞) n^2/(n^2-1)＝1，所以级数∑1/(n^3-n)收敛，所以t＝±1时，级数∑t^n/(n-n^3)都收敛，所以收敛域是[-1,1]

所以，原级数∑(x-3)^n/(n-n^3)的收敛域是|x-3|≤1，即[2,4]，收敛半径是1

Answer 2

lim(n->正无穷）|[(x-3)^(n+1)/(n+1-(n+1)^3)]/[(x-3)^n/(n-n^3)]|
= |x-3|lim(n->正无穷）|[n(1-n)(1+n)]/[(n+1)(1-n-1)(1+n+1)]|
= |x-3|lim(n->正无穷）|1-n|/|n+2|
= |x-3| < 1

R = 1.
|x-3|<1时，级数收敛。

|x-3|=1时,
Sum(n=1->正无穷）|x-3|^n/|n(1-n)(1+n)| = Sum(n=1->正无穷）1/[n(n+1)(n-1)]

而Sum(n=1->正无穷）1/n^3收敛。
lim(n->正无穷）n^3/[n(n+1)(n-1)] = 1.
因此，Sum(n=1->正无穷）1/[n(n+1)(n-1)]收敛。
Sum(n=1->正无穷）(x-3)^n/[n(1-n)(1+n)]绝对收敛。

所以，
级数的收敛域为|x-3|<=1.