Question

求y= ln| x|的反函数。

Answer 1

y=shx(x∈R)的反函数如下：

^y=sh(x)=(e^x-e^-x)/2：

令e^x=t>0；2y=t-1/t；t²-1-2yt=0；t=y+√(y²+1)  (y-√(y²+1)<0) 

∴e^x=y+√(y²+1)

x=ln[y+√(y²+1)]

∴反函数：y=ln[x+√(x²+1)]

反函数的性质：

用自然语言来说就是，反函数的导数，等于直接函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。

在这里要说明的是，y=f(x)的反函数应该是x=f-1(y)。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和直接函数不互为倒数，但是各自导函数求出后，二者却是互为倒数。

Answer 2

y=ln|x|
|x|=eʸ
换元，|y|=eˣ
y=±eˣ
根据函数定义，给定自变量，有唯一的函数值与之对应。
上式不符合函数定义，所以，原函数没有反函数。