Question

[计算]求函数 z=x^2+5y^2-3xy 的极值

Answer 1

【计算答案】x=;y=

【求解思路】多元函数的极值问题。可以按下列方法来求解。

第一步，求各变量的一阶偏导数

第二步，分别令

第三步，求解上述方程组，得到静止点P0(x0,y0)值。

第四步，求各变量的二阶偏导数

第五步，判断P0是否为极值

【计算过程】

【本题知识点】

1、二元函数的极值。如果函数f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内满足f(x,y)<f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极大值；如果函数f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内满足f(x,y)>f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极小值。点(x0,y0)称为极值点。

2、极值的判定。如函数在点(x0,y0)处有二阶偏导数 f"xx(x0,y0)=A， f"xy(x0,y0)=B， f"yy(x0,y0)=C，

(1)当B²-AC<0时函数有极值，且当A<0（C<0）时函数有极大值，当A>0（C>0）时函数有极小值。

(2)当B²-AC>0时函数无极值。

(3)当B²-AC=0时函数其极值不确定。

Answer 2

要求二元函数 z = x^2 + 5y^2 - 3xy 的极值，我们需要使用二阶偏导数（也称为Hessian矩阵）来检查函数的凹凸性。首先，我们需要计算一阶和二阶偏导数：
一阶偏导数：
∂z/∂x = 2x - 3y
∂z/∂y = 10y - 3x
二阶偏导数：
∂²z/∂x² = 2
∂²z/∂y² = 10
∂²z/∂x∂y = ∂²z/∂y∂x = -3
接下来，我们需要找到临界点，即一阶偏导数等于零的点：
2x - 3y = 0
10y - 3x = 0
解这个线性方程组，我们得到 x = 0 和 y = 0。因此，临界点是 (0, 0)。
为了确定这个临界点是局部最小值、局部最大值还是鞍点，我们需要计算Hessian矩阵的行列式：
D = ∂²z/∂x² * ∂²z/∂y² - (∂²z/∂x∂y)² = 2 * 10 - (-3)² = 20 - 9 = 11
因为 D > 0 且 ∂²z/∂x² > 0，我们可以得出结论：在临界点 (0, 0) 处函数 z = x^2 + 5y^2 - 3xy 有一个局部最小值，该最小值为 z(0, 0) = 0。