Question

齐次差分方程的通解怎么写？

Answer 1

齐次差分方程的通解
将方程yt+1+ayt=0改写为：yt+1=-ayt，t=0，1，2，…。假定在初始时刻（即t=0）时，函数yt取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得
y1=-ay0=-aA，y2=-ay1=(-a)2A，………………方程的通解为yt =A(-a)t ，t=0，1，2，…
如果给定初始条件t=0时yt=y0，则A=y0，此时特解为：yt =y0(-a)t。
非齐次方程的通解与特解
迭代法求通
将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t）， t=0，1，2，…。
逐步迭代，则有
y1=(-a)y0+f(0），y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1），y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2），………………
由数学归纳法，可得
差分方程
其中
差分方程
为方程的特解。yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解。