Question

求定积分∫[1][0][1]/[e^[√x]]dx

Answer 1

要求定积分 ∫[0,1] [1/e^(√x)]dx，可以使用变量代换法来解决。
令 u = √x，则有 x = u^2，dx = 2u du。同时，当 x = 0 时，u = 0；当 x = 1 时，u = 1。
将变量代换带入原式，得到：
∫[0,1] [1/e^(√x)]dx = ∫[0,1] [1/e^u] 2u du = 2 ∫[0,1] [u/e^u] du
现在需要对 ∫[0,1] [u/e^u] du 进行求解。我们可以使用分部积分法，令：
f(u) = u, g'(u) = e^-u
则有：
f'(u) = 1, g(u) = -e^-u
根据分部积分法，有：
∫[0,1] [u/e^u] du = -u e^-u | [0,1] + ∫[0,1] [e^-u] du
将上式代回原式，得到：
∫[0,1] [1/e^(√x)]dx = 2 [ -u e^-u | [0,1] + ∫[0,1] [e^-u] du ] = 2 [ -e^-1 + 1 ]
因此，定积分 ∫[0,1] [1/e^(√x)]dx 的结果为 2 [ -e^-1 + 1 ]。
化简后得到：
∫[0,1] [1/e^(√x)]dx = 2 - 2/e
因此，定积分的结果为 2 - 2/e。