Question

利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式．希望高手能来坐坐

.利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式
1/2 (x^n+y^n) > ( (x+y)/2 ) ^n (x>0 , y>0 , x≠y , n>1 );

怎么解．．．

Answer 1

凹函数的性质：
若f(x)是凹函数，
则[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]

因为f(x)=x^n (n>1)是凹函数
故[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
即 (x^n+y^n)/2 > ( (x+y)/2 ) ^n

Answer 2

设f(t)=t^n,则f''(t)=n(n-1)t^(n-2)>0(当t>0时），故f(t)是凹函数，由凹函数的性质得1/2 (x^n+y^n) > ( (x+y)/2 ) ^n (x>0 , y>0 , x≠y , n>1 );

Answer 3

高手在哪？怎么都不能像数学书上那样表达算式表达式呢？ 高手你就用那表达好吗？ 顺便告诉我这些小罗罗！OK?