Question

求末位数字是几

（1）23的123次方，123的123次方，1993的123次方，1993的2001次方末位数字分别为多少？
（2）当m是怎样的多位数时，对于任意的正整数n，m的n次方的末位数字是不变的？
（3）运用上面的方法求出2004的2005次方，2007的2008次方，2008的2007次方等数的末位数字。
写明做法！

Answer 1

1）23的123次方==1
123的123次方==1
1993的123次方==1
1993的2001次方==3
原因:
3的1次方==3
3的2次方==9
3的3次方==7
3的4次方==1
可见每4次循环一次!
123=30*4+3
2001=500*4+1

（2）m末位数为0，1，5，6的数

（3）寻找周期性:
4,6,4,6...2004的2005次方末尾是4
7,9,3,1...2007的2008次方末尾是1
8,4,2,6...2008的2007次方末尾是2
1)23的123次方只要看从3的1次方的末位数、2次方的末位数一直到123次方的末位数就可以知道了。用列举的方法：
3的1次方是3 3的2次方是9 3的3次方是7 3的4次方是1
3的5次方是3 3的6次方是9 3的7次方是7 3的8次方是1
………………
以此类推123的4k次方末位为1，4k+1次方末位数3，
4k+2次方末位为9，4k+3次方末位为7

123可以写成4k+3的形式，所以23的123次方末尾是7

同样123的123次方、1993的123次方、1993的2001次方分别只要看3的123次方、3的123次方、3的2001次方就可知末位数了。

所以：23的123次方，123的123次方，1993的123次方，1993的2001次方末位数字分别为 7、7、7、3

(2) 当m末位为0、1、5、6时，对于任意的正整数n，m的n次方的末位数字还是0、1、5、6。
因为0×0、1×1、5×5、6×6的末位还是0、1、5、6

(3)
4的n次方末位数字排列如下：
n=1 2 3 4 5 6……
4 6 4 6 4 6……

7的n次方末位数字排列如下：
n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……
7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1……
8的n次方末位数字排列如下：
n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……
8 4 2 6 8 4 6 8

所以2004的2005次方，2007的2008次方，2008的2007次方等数的末位数字分别是
4、1、2

Answer 2

（1）

23的123次方==1
123的123次方==1
1993的123次方==1
1993的2001次方==3
原因:
3的1次方==3
3的2次方==9
3的3次方==7
3的4次方==1
可见每4次循环一次!
123=30*4+3
2001=500*4+1

（2）
M是一个末位为0、1、5、6的自然数。

（3）
4的1次方=4
4的2次方=6
4的3次方=4
4的4次方=6
2005/2=1002……1
2004的2005次方的末位数字是4

同样
2007的2008次方的末位数字是1
2008的2007次方的末位数字是2

Answer 3

1) 既然只关心末尾数 那么只要看个位就行了
23 123 1993 的各位都是3 3的平方是9 9的平方是81 还是看个位1 1的平方总是1
所以 23 123 1993 的3次以上次方的末尾都是1

*为什么只要看个位就行了？想想乘法是怎样笔算的你就能明白了

2) 1的平方总是1
5的平方是25 个位又是5
6的平方是36 个位又是6
其他数字都不满足这样的特性
所以 个位是1 5 6 的多位数满足要求

3) 4的平方是6 而由2）的结论 6的任意多次方的末位仍然是6 所以2004的2005次方的末尾是6
类似的 2007的2008次方的末尾是1，2008的2007次方的末尾是6

Answer 4

（1）23的123次方==1
123的123次方==1
1993的123次方==1
1993的2001次方==3
原因:
3的1次方==3
3的2次方==9
3的3次方==7
3的4次方==1
可见每4次循环一次!
123=30*4+3
2001=500*4+1

（2）m末位数为0，1，5，6的数

（3）寻找周期性:
4,6,4,6...2004的2005次方末尾是4
7,9,3,1...2007的2008次方末尾是1
8,4,2,6...2008的2007次方末尾是2

Answer 5

(1)23的123次方只要看从3的1次方的末位数、2次方的末位数一直到123次方的末位数就可以知道了。用列举的方法：
3的1次方是3 3的2次方是9 3的3次方是7 3的4次方是1
3的5次方是3 3的6次方是9 3的7次方是7 3的8次方是1
………………
以此类推123的4k次方末位为1，4k+1次方末位数3，
4k+2次方末位为9，4k+3次方末位为7

123可以写成4k+3的形式，所以23的123次方末尾是7

同样123的123次方、1993的123次方、1993的2001次方分别只要看3的123次方、3的123次方、3的2001次方就可知末位数了。

所以：23的123次方，123的123次方，1993的123次方，1993的2001次方末位数字分别为 7、7、7、3

(2) 当m末位为0、1、5、6时，对于任意的正整数n，m的n次方的末位数字还是0、1、5、6。
因为0×0、1×1、5×5、6×6的末位还是0、1、5、6

(3)
4的n次方末位数字排列如下：
n=1 2 3 4 5 6……
4 6 4 6 4 6……

7的n次方末位数字排列如下：
n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……
7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1……
8的n次方末位数字排列如下：
n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……
8 4 2 6 8 4 6 8

所以2004的2005次方，2007的2008次方，2008的2007次方等数的末位数字分别是
4、1、2