Question

求一题微积分的数学问题,要过程和分析

生产某种产品的总成本函数为C(Q)=50000+100Q(元)。又已知该产品的需求函数为Q=2000-4P假设这种产品在市场上畅销，问产量是多少时利润最大，最大利润是多少。

Answer 1

设L=利润，利润=总收益-总成本 ，总收益=P*Q
由需求函数 Q=2000-4P，可以解出 P=500-Q/4
L= P*Q-C(Q)=(500-Q/4)*Q-(50000+100Q)
= -(Q^2)/4+400 Q-50000
上式关于Q求导数，并令其等于0
L'= -Q/2 + 400 = 0，解得 Q=800
代入 利润公式得最大利润为 L=110000 或 所谓畅销，也就是供小于求平衡，即无产品积压
由需求函数Q=2000-4P可得
P=500-Q/4
设利润为Pr（来源于英文profit），则有
Pr=PQ-C=500Q-Q^2/4-50000-100Q，则
dPr/dQ=400-Q/2=0，解得
Q=800，即当Q=800时，利润最大，并将Q=800代入，解得最大利润为
Prmax=110000

Answer 2

所谓畅销，也就是供小于求，即无产品积压
由需求函数Q=2000-4P可得
P=500-Q/4
设利润为Pr（来源于英文profit），则有
Pr=PQ-C=500Q-Q^2/4-50000-100Q，则
dPr/dQ=400-Q/2=0，解得
Q=800，即当Q=800时，利润最大，并将Q=800代入，解得最大利润为
Prmax=110000

此种状态下，该产品的毛利率(gross profit margin)GPM=Prmax/PQ=45.83%
建议扩大生产，并培训消费者，构筑品牌壁垒！申请专利，构筑技术壁垒！

Answer 3

设L=利润，利润=总收益-总成本 ，总收益=P*Q
由需求函数 Q=2000-4P，可以解出 P=500-Q/4
L= P*Q-C(Q)=(500-Q/4)*Q-(50000+100Q)
= -(Q^2)/4+400 Q-50000
上式关于Q求导数，并令其等于0
L'= -Q/2 + 400 = 0，解得 Q=800
代入 利润公式得最大利润为 L=110000