如何计算当x趋向于无穷大是xcot2x的极限
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(x→0) xcot2x
解答过程如下:
=lim(x→0) xcos2x/sin2x
=lim(x→0) (1/2)*cos2x*(2x/sin2x)
=1/2
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定义1 如果函数f(x)当x→a(或x→∞ )时的极限为零,那么称函数f(x)为当x→a(或x→∞ )的无穷小当X趋近于∞时,函数极限值为0,故我们称函数f(x)为当x→∞时的无穷小。
无穷小不能理解为一个很小的数,无穷小是一个变化的过程,无穷小能比任何接近0的数还要趋近于0,而很小的数是一个定值,同理底下的无穷大也不能等于一个很大的数。
定义2 函数f(x)在自变量的某一变化过程中,若函数满足 对∀ M>0, 有|f(x)|>M,则称函数f(x)是当自变量在这一变化过程中的无穷大。当X趋近于1时,函数极限值为∞,故我们称函数f(x)是x→1的无穷大。
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答:
上述式子的极限不存在。
证明一:
对于任意给定的常数A,
取正整数k,k>2A/π-1/4,
则令2x=kπ+π/4
xcot2x
=kπ/2+π/8
>A
所以知当x趋向无穷大时xcot2x的极限不存在。
证明二:
x趋向无穷大,
令2x=kπ+π/4,k趋向正无穷大,
xcot2x→(kπ/2+π/8),也趋向正无穷大;
令2x=kπ+π/4,k趋向负无穷大,
xcot2x→(kπ/2+π/8),也趋向负无穷大。
故x趋向无穷大xcot2x极限不存在。
证明三:
令y=xcot2x,x→+∞,
令2x=kπ+π/4,k趋向无穷大,
得到y的一个子列
(kπ/2+π/8)也趋向无穷大(子列发散,不存在极限)
所以y=xcot2x在x趋向无穷大时极限不存在。
以上三种解法是有共通性的,做这道题应该把握极限存在的定义。
上述式子的极限不存在。
证明一:
对于任意给定的常数A,
取正整数k,k>2A/π-1/4,
则令2x=kπ+π/4
xcot2x
=kπ/2+π/8
>A
所以知当x趋向无穷大时xcot2x的极限不存在。
证明二:
x趋向无穷大,
令2x=kπ+π/4,k趋向正无穷大,
xcot2x→(kπ/2+π/8),也趋向正无穷大;
令2x=kπ+π/4,k趋向负无穷大,
xcot2x→(kπ/2+π/8),也趋向负无穷大。
故x趋向无穷大xcot2x极限不存在。
证明三:
令y=xcot2x,x→+∞,
令2x=kπ+π/4,k趋向无穷大,
得到y的一个子列
(kπ/2+π/8)也趋向无穷大(子列发散,不存在极限)
所以y=xcot2x在x趋向无穷大时极限不存在。
以上三种解法是有共通性的,做这道题应该把握极限存在的定义。
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