Question

如何计算当x趋向于无穷大是xcot2x的极限

Answer 1

(x→0) xcot2x

解答过程如下：

=lim(x→0) xcos2x/sin2x

=lim(x→0) (1/2)*cos2x*(2x/sin2x)

=1/2

扩展资料

定义1 如果函数f(x)当x→a(或x→∞ )时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→a(或x→∞ )的无穷小当X趋近于∞时，函数极限值为0，故我们称函数f(x)为当x→∞时的无穷小。

无穷小不能理解为一个很小的数，无穷小是一个变化的过程，无穷小能比任何接近0的数还要趋近于0，而很小的数是一个定值，同理底下的无穷大也不能等于一个很大的数。

定义2 函数f(x)在自变量的某一变化过程中，若函数满足 对∀ M>0, 有|f(x)|>M,则称函数f(x)是当自变量在这一变化过程中的无穷大。当X趋近于1时，函数极限值为∞，故我们称函数f(x)是x→1的无穷大。

Answer 2

答：
上述式子的极限不存在。

证明一：
对于任意给定的常数A,
取正整数k,k>2A/π-1/4,
则令2x=kπ+π/4
xcot2x
=kπ/2+π/8
>A
所以知当x趋向无穷大时xcot2x的极限不存在。

证明二：
x趋向无穷大，
令2x=kπ+π/4,k趋向正无穷大，
xcot2x→(kπ/2+π/8),也趋向正无穷大；
令2x=kπ+π/4,k趋向负无穷大，
xcot2x→(kπ/2+π/8),也趋向负无穷大。
故x趋向无穷大xcot2x极限不存在。

证明三：
令y=xcot2x,x→+∞,
令2x=kπ+π/4,k趋向无穷大，
得到y的一个子列
（kπ/2+π/8)也趋向无穷大（子列发散，不存在极限）
所以y=xcot2x在x趋向无穷大时极限不存在。

以上三种解法是有共通性的，做这道题应该把握极限存在的定义。