Question

F(Z)=1/(Z-1)(z-2) 在Z=1处的泰勒展开式

F(Z)=1/(Z-1)(z-2) 在Z=1处的泰勒展开式

Answer 1

F(Z)=1/(Z-1)(z-2)=1/(z-2) -1/(z-1)

第二项-1/(z-1)不必继续展开，只考虑第一项

1/(z-2)=1/(z-1-1)，令 x = z-1，则第一项变为 1/(x-1)

将 1/(x-1)在x点展开（文本状态不好输入泰勒公式，教材上都有），
1/(x-1) = -1/(1-x) = -(1+ x + x^2 + x^3 +...+ x^n +...) x属于(-1, 1)

然后将 x = z-1 代入上面的展开式，即为1/(z-2)在z=1处的展开式。
别忘记最后的结果还要加上第二项 -1/(z-1)。

Answer 2

设x= (z-1) ,
则(1/(z-1)(z-2))
=1/(x*(x-1))
=1/(x-1)-1/x
1/(x-1)的级数展开式为
-1 - x - x^2 - x^3 - x^4 - x^5-...-x^n-...
于是
1/(x-1)-1/x的展开式为
-1/x -1 - x - x^2 - x^3 - x^4 - x^5-...-x^n-...
将x换成z-1于是得展开式:
-1/(z-1) -1 - (z-1) - (z-1)^2 - (z-1)^3 - (z-1)^4 - (z-1)^5-...-(z-1)^n-...