Question

微积分题目解答

第一个 y^3=x^2
求该弧线在点（-1，1）到（8，4）的长度
第二个 y=0.25x^2-0.5lnx x大于等于2小于等于1
把这个函数沿y轴旋转一圈 求这个函数所画出的表面积
第三个 求y=ln( 1-x^2) x小于等于0.5大于等于0时弧线的长度

Answer 1

由于时间关系,结果我只做了一遍;不能保证完全正确.恕我只能给你提供一个思路了.
祝你学习进步.

1
两边同时求导：3y^2·y'=2x;
y'=(2/3)x/y^2=(2/3)x^(-1/3).
则该弧线在点（-1，1）到（8，4）的长度为
∫(积分限从-1到8) √(1+(y')^2)dx
令y'=(2/3)x^(-1/3)=tanθ
则x=(8/27)tan^(-3) θ θ值从arctan(-2/3)到arctan(1/3).
dx=(-8/9)tan^(-4) θ ·sec^2 θ dθ =(-8/9)cos^2 θ / sin^4 θ dθ
则原积分=
=∫(积分限从arctan(-2/3)到arctan(1/3)) √(1+tan^2 θ) ·[(-8/9)cos^2 θ / sin^4 θ] dθ
=∫(积分限从arctan(-2/3)到arctan(1/3)) (-8/9) sec θ·cos^2 θ / sin^4 θ dθ
=(-8/9)∫(积分限从arctan(-2/3)到arctan(1/3)) cos θ / sin^4 θ dθ
=(-8/9)∫(积分限从arctan(-2/3)到arctan(1/3)) 1/ sin^4 θ d(sin θ)
=(-8/9)/(-4+1) sin^(-3) θ |从arctan(-2/3)到arctan(1/3)
画个三角形:对边是2;邻边是3;则斜边是√13.那么就得到sin arctan(-2/3)=-(2/√13).同样方法得到sin arctan(1/3)=1/√10.
则积分=(8/27)·sin^(-3) θ |从arctan(-2/3)到arctan(1/3)
=(8/27)·[13^(3/2)/8-10^(3/2)]
=[13^(3/2)-8×10^(3/2)]/27.

2
y'=0.5x-0.5/x;
表面积=∫(积分限从0到2π)dθ {∫(积分限从-∞到1) √(1+(y')^2)dx+∫(积分限从2到+∞) √(1+(y')^2)dx}
=2π·{∫(积分限从-∞到1) √[1+0.25(x^2-2+1/x^2)]dx+∫(积分限从2到+∞) √[1+0.25(x^2-2+1/x^2)]dx}
=2π·{∫(积分限从-∞到1) √0.25(x^2+2+1/x^2)dx+∫(积分限从2到+∞) √0.25(x^2+2+1/x^2)dx
=π·{∫(积分限从-∞到0) -√(x+1/x)^2 dx+∫(积分限从0到1)√(x+1/x)^2 dx+∫(积分限从2到+∞) √(x+1/x)^2 dx
=π·{-∫(积分限从-∞到0) (x+1/x)dx+∫(积分限从0到1)(x+1/x)dx+∫(积分限从2到+∞) (x+1/x)dx
=(1/2)π·{-[x^2+lnx]|(从-∞到0)+[x^2+lnx]|(从0到1)+[x^2+lnx]|(从2到+∞)
=(π/2){lim(x→∞)(-x^2+x^2-lnx+lnx)+lim(x→0)(-lnx+lnx)+0+(1-0)-(4+ln2)}
=(π/2)(-3+ln2)

3
y'=2x/(1-x^2)
则弧线的长度=
∫(积分限从-∞到0.5) √(1+(y')^2)dx+∫(积分限从0到+∞)√(1+(y')^2)dx
下面的步骤参照第二题就能作出来了.

Answer 2

基本上都可以直接利用公式得出，但写起来比较麻烦。有需要再联系，详细解。

Answer 3

由于时间关系
祝你学习进步