Question

如果f(x)为偶函数。且f `（0）存在，证明 f ` (0) = 0

如果f(x)为偶函数，且f'(x)存在。证明：f'(0)=0.
这个题怎么做啊？ 是不是要用到 偶函数的导数是奇函数的定理啊？

f(-x)=f(x)
若f'(x)存在，对上面的等式两边求导得
[f(-x)]'=f'(x)

这个东西 我可以理解成 函数的相等 他们的导数也相等吗？
问题没错啊 我看的同济第五版的书 是证明f0=0 不是fx=0
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=-lim[f(-x)-f(0)]/(-x)
这个怎么来的？

Answer 1

数学中有一个定理:奇涵数的导数是偶涵数，偶涵数的导数是奇涵数，所以上面那题是:
因为f(x)是偶涵数，且f'(0)存在，所以f'(x)=0

Answer 2

如果f(x)为偶函数。且f `（0）存在，
f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/x;(x→0)
=lim[f(-x)-f(0)]/x
=-lim[f(-x)-f(0)]/(-x)
=-f'(0)
f'(0)=0.

Answer 3

f(kx)都行，因为x->0时kx->0（将kx看成一个整体t,那么与x等价),但是分母要凑成和它一样，所以可以写成
lim[f(-x)-f(0)]/(-x)
补充，是令-x=t,x->0时t->0,在导数的定义里有区别吗？

Answer 4

根据偶函数的定义f(x)=f（-x），然后两边同时取导数得f'(x)=-f'(-x)，再令x=0，等到f'(0)=-f'(0)，得证f'(0)=0。