Question

求圆锥曲线过定点定直线问题的思路

我是今年要高考的学生（福建省理科）
想请教一下关于圆锥曲线过定点 或者定直线的问题 一般思路和解题步骤是什么？
请写得清楚些 最好能举个例子来说明说明~
现在整个数学就差这块知识了 希望得到帮助~
我给200分！谢谢了~

Answer 1

一般先尝试两下比较特殊的极端情况下看看定点，或者定直线是什么才好针对性的做题，反正是先出答案再做才是明智的（小部分题目不需要求出来，这样我们就不妨随便假设为任意一个点，再证明最后结论与它无关即可）。
比如看这道题。
已知A、B、C是抛物线Y^2=8X上的点，B(2，4),F是焦点，且2BF=AF+CF.证明线段AC的垂直平分线比过定点，并求该点。
解题思路：思路假设B=A,则可知C(2,-4);从而知道若存在定点必在x轴上，再设为(t,0）问题就简单多了 ，答案（6，0）。
另外要善于挖掘相关条件做简化，比如
已知椭圆方程为x2/4+y2=1，点M(√2,√2/2),过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）。
（1）求证直线AB的斜率为定值。
这里如果我们能懂得用中位线平行于底边的性质问题就能很容易简化。
解：思路运用中位线斜率等于AB斜率来证明：
直线一：y-√2/2=k(x-√2),代入椭圆方程整理得
(4k^2+1)x^2-(8√2k^2-4√2k)x+P=0;所以MA中点A'横坐标运用伟达定理得
xA'=(4√2k^2-2√2k)/(4k^2+1);
直线二：y-√2/2=-k(x-√2),同理可求得MB中点B'的横坐标为
xB'=(4√2k^2+2√2k)/(4k^2+1);
而yA'满足直线一方程，yB'满足直线二方程，两式相减得
yB'-yA'=-k(xB'+xA')+2√2k=-k(8√2k^2)/(4k^2+1)+2√2k;
xB'-xA'=4√2k/(4k^2+1);
两式相比通分化简即可消去k得到定值为1/2 。（这里你看到了它与我们选的k无关）

Answer 2

已知曲线C:y²=4x,已知点D(1,2)在曲线C上，若曲线C上两点A,B满足DA⊥DB,试证明直线AB必过定点,并求出这个定点坐标.
解：
设直线AB的方程为x=x0或y=kx+b
(1)若直线AB的方程为x=x0，与y²=4x联立，解得A(x0,2√x0),B(x0,-2√x0),
由DA⊥DB，得x0=5,此时直线AB的方程为：x=5。
(2)直线AB的方程为y=kx+b,与y²=4x联立,有
（kx+b)²=4x
k²x²+(2kb-4)x+b²=0
x1+x2=(4-2kb)/k²,x1x2=b²/k²
∵DA⊥DB
∴(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0
y1=kx1+b,y2=kx2+b
综上可得：y1+y2=4/k,y1y2=4b/k
b²+6kb+(5k+2)(k-2)=0
b=-5k-2或b=-k+2
直线AB的方程为y=kx-5k-2或y=kx-k+2
因为y=kx-k+2过D(1，2）点，不合题设，舍去
直线y=kx-5k-2过定点(5,-2)符合
综合（1）（2）得到直线AB必过定点（5，－2）.

Answer 3

我个人认为圆锥曲线的题目其实不复杂，陷阱较少。只是相对于其他题目来说，圆锥曲线的计算量较大，较为复杂。
当然我们既然准备高考，就应该记清楚关于圆锥曲线的所有公式，最好是理解的记忆。然后再在题目中得到一些启示，总结出一些属于自己的方法，这样才最适合自己。
过定点或过定直线的问题，一般可以直接求或者间接的求，我个人偏向于间接的求。就是设......弄清楚定义后，就在脑海中把题目明了化，假设自己所设的量就是题目要的答案，从头开始里一变，这就是在出题者出题的思路上走一遍，往往最后都能解出这个设的量。当然对一些定义你得非常的熟悉，能更好的判断用什么方法做最简便，圆锥的题目往往只要截下去就能得到答案，你得选择方便的途径。
最后还是练！
知识只有在实践中才能更加完善。这大概是我的经验，也不知道有没道理，你看着好坏吸取一点吧~

Answer 4

设直线AB的方程为x=x0或y=kx+b
(1)若直线AB的方程为x=x0，与y²=4x联立，解得A(x0,2√x0),B(x0,-2√x0),
由DA⊥DB，得x0=5,此时直线AB的方程为：x=5。
(2)直线AB的方程为y=kx+b,与y²=4x联立,有
（kx+b)²=4x
k²x²+(2kb-4)x+b²=0
x1+x2=(4-2kb)/k²,x1x2=b²/k²
∵DA⊥DB
∴(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0
y1=kx1+b,y2=kx2+b
综上可得：y1+y2=4/k,y1y2=4b/k
b²+6kb+(5k+2)(k-2)=0
b=-5k-2或b=-k+2
直线AB的方程为y=kx-5k-2或y=kx-k+2
因为y=kx-k+2过D(1，2）点，不合题设，舍去
直线y=kx-5k-2过定点(5,-2)符合
综合（1）（2）得到直线AB必过定点（5，－2）.

Answer 5

由这几次大题目来看，貌似列二元方程然后强算的很多啊。
然后就是猜了，一般来说一些特殊值是最有可能的，考场时间问题嘛。例题，其实发下来的卷子里的那些就很不错啦。