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解不等式
不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.
●难点磁场
(★★★★)解关于x的不等式 ＞1(a≠1).
●案例探究
〔例1〕已知f(x)是定义在〔－1，1〕上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈〔－1，1〕，m+n≠0时 ＞0.
(1)用定义证明f(x)在〔－1，1〕上是增函数；
(2)解不等式：f(x+ )＜f( )；
(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈〔－1，1〕，a∈〔－1，1〕恒成立，求实数t的取值范围.
命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.
知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.
错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x+ ∈〔－1，1〕， ∈〔－1，1〕必不可少，这恰好是容易忽略的地方.
技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.
(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈〔－1，1〕，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)= •(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1，
∴x1+(－x2)≠0，由已知 ＞0，又 x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在〔－1，1〕上为增函数.
(2)解：∵f(x)在〔－1，1〕上为增函数，
∴ 解得：{x|－ ≤x＜－1，x∈R}
(3)解：由(1)可知f(x)在〔－1，1〕上为增函数，且f(1)=1，故对x∈〔－1，1〕，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈〔－1，1〕，a∈〔－1，1〕恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈〔－1，1〕，g(a)≥0，只需g(a)在〔－1，1〕上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2.∴t的取值范围是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}.
〔例2〕设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M 〔1，4〕，求实数a的取值
范围.
命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.
知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.
错解分析：M= 是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错.
技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.
解：M 〔1，4〕有n种情况：其一是M= ，此时Δ＜0；其二是M≠ ，此时Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M= 〔1，4〕
(2)当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时M={－1}�〔1，4〕；当a=2时，m={2} 〔1，4〕.
(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=〔x1，x2〕，M 〔1，4〕 1≤x1＜x2≤4
即 ，解得：2＜a＜ ，
∴M 〔1，4〕时，a的取值范围是(－1， ).
●锦囊妙计
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.
(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.
(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)设函数f(x)= ，已知f(a)＞1，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(－ ，+∞) B.(－ ， )
C.(－∞，－2)∪(－ ，1) D.(－2，－ )∪(1，+∞)
二、填空题
2.(★★★★★)已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是( ， )，则f(x)•g(x)＞0的解集是__________.
3.(★★★★★)已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是__________.
三、解答题
4.(★★★★★)已知适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3.
(1)求p的值；
(2)若f(x)= ，解关于x的不等式f-－1(x)＞ (k∈R+)
5.(★★★★★)设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)= ，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切实数x都成立，证明你的结论.
6.(★★★★★)已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2.
(1)求p、q之间的关系式；
(2)求p的取值范围；
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值.并求此时f(sinθ)的最小值.
7.(★★★★)解不等式loga(x－ )＞1
8.(★★★★★)设函数f(x)=ax满足条件：当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1 时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
难点磁场
解：原不等式可化为： ＞0，
即〔(a－1)x+(2－a)〕(x－2)＞0.
当a＞1时，原不等式与(x－ )(x－2)＞0同解.
若 ≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若 ＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞， )∪(2，+∞).
当a＜1时，若a＜0，解集为( ，2)；若0＜a＜1，解集为(2， )
综上所述：当a＞1时解集为(－∞， )∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2， )；当a=0时，解集为 ；当a＜0时，解集为( ，2）.
歼灭难点训练
一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：
① 或 ② 或 ③
解①得a＜－2，解②得－ ＜a＜1，解③得x∈
∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(－ ，1）
答案：C
二、
2.解析：由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，g(x)＜0的解集是(－ ).由f(x)•g(x)＞0可得：
∴x∈(a2， )∪(－ ，－a2)
答案：(a2， )∪(－ ，－a2)
3.解析：原方程可化为cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原问题转化为方程t2－2t－a－1=0在〔－1，1〕上至少有一个实根.令f(t)=t2－2t－a－1，对称轴t=1，画图象分析可得 解得a∈〔－2，2〕.
答案：〔－2，2〕
三、
4.解：(1)∵适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3，
∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x.
若|x2－4x+p|=－x2+4x－p，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，其解集不可能为{x|x≤3}的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p.
∴原不等式为x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.
(2)f(x)= ，∴f-－1(x)=log8 (－1＜x＜1 ，
∴有log8 ＞log8 ，∴log8(1－x)＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k.
∵－1＜x＜1，k∈R+，∴当0＜k＜2时，原不等式解集为{x|1－k＜x＜1}；当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1 .
5.解：由f(1)= 得a+b+c= ，令x2+ =2x2+2x+ x =－1，由f(x)≤2x2+2x+ 推得
f(－1)≤ .
由f(x)≥x2+ 推得f(－1)≥ ，∴f(－1)= ，∴a－b+c= ，故
2(a+c)=5，a+c= 且b=1，∴f(x)=ax2+x+( －a).
依题意：ax2+x+( －a)≥x2+ 对一切x∈R成立，
∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，
∴f(x)= x2+x+1
易验证： x2+x+1≤2x2+2x+ 对x∈R都成立.
∴存在实数a= ，b=1，c=1，使得不等式：x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切x∈R都成立.
6.解：(1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即当x∈〔－1，1〕时，f(x)≤0，当x∈〔1，3〕时，f(x)≥0，∴当x=1时f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p)
(2)f(x)=x2+px－(1+p)，
当sinθ=－1时f(－1)≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0
(3)注意到f(x)在〔1，3〕上递增，∴x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3.
此时，f(x)=x2+3x－4，即求x∈〔－1，1〕时f(x)的最小值.又f(x)=(x+ )2－ ，显然此函数在〔－1，1〕上递增.
∴当x=－1时f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6.
7.解：(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组
由此得1－a＞ .因为1－a＜0，所以x＜0，∴ ＜x＜0.
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：
由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜ ，∴1＜x＜ .
综上，当a＞1时，不等式的解集是{x| ＜x＜0 ，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜ }.
8.解：由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1 恒成立.
在x∈(0，1 恒成立.
整理，当x∈(0，1)时， 恒成立，即当x∈(0，1 时， 恒成立，且x=1时， 恒成立，
∵ 在x∈(0，1 上为减函数，∴ ＜－1，
∴m＜ 恒成立 m＜0.
又∵ ，在x∈(0，1 上是减函数，�
∴ ＜－1.
∴m＞ 恒成立 m＞－1当x∈(0，1)时， 恒成立 m∈(－1，0)①
当x=1时， ，即是 ∴m＜0 ②
∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1 时，f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)
《二元一次方程组》复习专题
湖北省钟祥市罗集一中（431925）熊志新 唐志凌
一、知识结构图
二、具体知识点
1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如 等，都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数，如xy=2不是二元一次方程。
2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。
3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，如：
等都是二元一次方程组。
4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。
5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解
检验方法：把一对数值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程，如果这对未知数既满足方程(1)，又满足方程(2)，则它就是此方程组的解。
6．二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法
三、理解解二元一次方程组的思想
四、解二元一次方程组的一般步骤
（一）、代入消元法
（1）从方程中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的未知数用另一个未知数的代数式来表示，如用 表示 ，可写成 ；
（2）将 代入另一个方程，消去 ，得到一个关于 的一元一次方程
（3）解这个一元一次方程，求出 的值；
（4）把求得的 的值代入 中，求出 的值，从而得到方程组的解．
（二）、加减法
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，也不相等时，可用适当的数乘以方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等，得到一个新的二元一次方程组；
（2）把这个方程组的两边分别相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程；
（4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。
一般来说，当方程组中有一个未知数的系数为1（或一1）或方程组中有1个方程的常数项为0时，选用代入消元法解比较简单；当同一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单。
五、列一次方程组解应用题
列一次方程组解应用题，是本章的重点，也是难点。列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系；
（2）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x、y，设未知数要带好单位名称）；
（3）找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；
（4）列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方
程组；
（5）解：解所列方程组，得未知数的值；
（6）答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。
归纳为6个字：审，设，找，列，解，答。
六、典例解析
例1：判断下列方程是不是二元一次方程
分析：判断一个方程是否是二元一次方程需满足以下几条要求①含有两个未知数，②未知项的次数是“1”，③任何一个二元一次方程都可以化成 ，（ 为已知数）的形式，这种形式叫做二元一次方程的一般形式.也就是说任何一个方程只要能化成 （ ）.这个方程就是二元一次方程.
解：(1)不是，∵未知项次数为2；
（2）是，∵经过化简为 ，符合一般形式，∴是；
（3）不是，∵xy的次数是2；
（4）是，∵经过化简为x－y＝0，即符合定义，又能化为一般形式；
（5）不是，∵含有三个未知数，同时未知项 次数为2；
（6）不是，∵ 不是整式，像这样分母中含有未知数的方程都不属于二元一次方程；
例2：在下列每个二元一次方程组的后面给出了x与y的一对值，判断这对值是不是前面方程组的解？
（1） （2）
分析：把给出的x与y的一对值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程若使(1)、(2)两个方程左、右两边都相等，才是方程组的解，否则不是。
解：（1）把 代入方程(1)得，左边＝5，右边＝5，左边＝右边，
把 代入方程(2)得，左边＝7，右边＝70，左边≠右边。
∴ 不是方程组 的解。
（2）把 分别代入方程组的(1),(2)两个方程，都满足：左边＝右边，
∴ 是方程组 的解.。
说明：判断一对数是否是方程组的解，必须满足方程组的两个方程。
例3：解方程组
分析：方程①可以把y看作2+x，则方程②中的y就可以和2+x来代替，这样方程②就可以转化为一元一次方程．
解：把①代入②得 2x+2+x=6 3x=4 ∴
把 代入①得 ，∴ 。
∴
例4：甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动。甲车的速度较快，当两车反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两车同向运动时，每1分钟相遇一次，求两车的速度。
分析：在环路问题中，若两人同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。
解：设甲、乙两车的速度分别为每秒 x米和每秒y米，根据题意，得
经检验，符合题意。
答：甲、乙两车的速度分别为25米/秒，15米/秒。
例5：张华到银行以两种形式分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息
所得税后可得到利息43.92元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利
率各是百分之几？（注：利息所得税=利息全额×20%）。
分析：利率问题：利息=本金×利率×时间。
解：设2000元、1000元的年利率分别为x%和y%，则根据题意，得方程组。
解方程组，x=2.25，y=0.99，
答：两种储蓄的年利润分别为2.25%和0.99%。
例6、某家具厂生产一种方桌，设计时1立方米的木材可做50个桌面，或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面在和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套，并指出共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）。
分析：解有关配套问题，要根据配套的比例，依据特定的数量关系列方程（组）求解。
解：设用x立方米的木材做桌面，y立方米的木材做桌腿，根据题意，
经检验符合题意，
此时，可做方桌为50×6=300（张）。
答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌。
例7：以二元一次方程 的解为坐标的点在平面直角坐标系中的图象是一条直线。根据这个结论，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组 中两个二元一次方程的图象，并根据图象写出这个二元一次方程组的解。
分析：因为任意两点可以确定一条直线，故只要分别列出两个点符合二元一次方程（1）、
（2）即可画出这两个二元一次方程的图象来。
解：由二元一次方程 （1）得：
x 0 2
y 4 0
由二元一次方程 （2）得：
X 0 -1
y 1 0
在同一直角坐标系中分别画出这两个二元一次方程的解的图象。
由图象可知：这两个二元一次方程的解的图象交于点P（1，2）。
∴方程组 的解为 。
例8：某市菜牛公司利用草场放牧菜牛代替圈养，公司有两处草场；草场甲的面积为3公顷，草场乙的面积为4公顷，两草场的草长得一样高，一样密，生长速度也相同。如果草场甲可供90头牛吃36天，草场乙可供160头牛吃24天（草刚好吃完），那么两处的草场合起来可供250头牛吃多少天？
分析：若直接设问题求解比较复杂，解决此问题关键是：每天牛吃草量；每公顷草场每天长草多少；同时还要知道每公顷草场的原有草量（此量只参与换算，没有必要求出来，可视为单位“1”）是多少。
解：设以原1公顷的草场的草量为1个单位，每头牛每天吃草为x个单位，每公顷草场每天长草为y个单位，则。
又设两处草场合起来可供250头牛吃a天，则。
得a = 28 故可吃28天。
(1)初一方程与应用题复习题
一、选择题：
1、方程x(x＋1)=0的根是 （ ）
（A）0 （B）1 （C）0和1 （D）0和－1
2、若方程(2a＋1)x2＋bx＋c=0是关于x的一元一次方程，则字母系数a和b的值必须是 （ ）
（A）a= ，b=0，c为任意数 （B）a≠ ，b≠0，c=0
（C）a= ，b≠0，c≠0 （D）a= ，b≠0，c为任意数
3、已知方程①3x－1=2x＋1，②x＋ = (x－ )，③ x－1=x，④ ＋ =7－ 中，解为x=2的是方程 （ ）
（A）①、②和③ （B）①、③和④ （C）②、③和④ （D）①、②和④
4、已知某数x，若比它的 大1的数的相反数是5，求x。则可列出方程 （ ）
（A）－ x＋1=5 （B）－( x＋1)=5 （C） x－1=5 （D）－x( x＋1)=5
二、解下列方程（每题4分，共16分）
1、． [ ( x－1)－4 ]=x＋2 2． －1= －
3． { [ ( ＋4)＋6]＋8}=1 4． － = －x
三、列方程解应用题：
1．快车每小时行72千米，慢车每小时行60千米，它们分别从甲、乙两站同时相向出发，两车相遇前，慢车因故停车1.5小时，相遇时，快车所走路程恰是慢车所走路程的3倍，求甲、乙两站的距离。（6分）
2、．一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天。若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲工作，问还需多少天能完成这项工程的 ？（7分）
3．两桶内共有水48千克，如果甲桶给乙桶加水一倍，然后乙桶又给甲桶加甲桶剩余水的一倍，那么两桶内的水的重量相等。问：原来甲、乙两桶内各有多少千克水？（7分）
4、甲、乙两个三角形，它们各自三条边的比都是2∶4∶5。甲三角形的最长边是乙三角形最长边的2倍，甲三角形的周长的 比乙三角形的周长多11厘米。问甲、乙两个三角形的最短边的长分别为多少厘米？（7分）
答案
一、1．D 2。D 3。B 4。B
二、1．x=－6 2．x= 3．x=1 4．x=0.1
5．x= 6．（1）m= （2）
三、
1． 240千米
2、2天
3．甲桶原有水30千克，乙桶原有水18千克
4．甲、乙两个三角形的最短边分别是12㎝和6㎝
5。2
6．1或－1 9．6
希望对你有所帮助！
不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.
●难点磁场
(★★★★)解关于x的不等式 ＞1(a≠1).
●案例探究
〔例1〕已知f(x)是定义在〔－1，1〕上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈〔－1，1〕，m+n≠0时 ＞0.
(1)用定义证明f(x)在〔－1，1〕上是增函数；
(2)解不等式：f(x+ )＜f( )；
(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈〔－1，1〕，a∈〔－1，1〕恒成立，求实数t的取值范围.
命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.
知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.
错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x+ ∈〔－1，1〕， ∈〔－1，1〕必不可少，这恰好是容易忽略的地方.
技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.
(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈〔－1，1〕，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)= •(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1，
∴x1+(－x2)≠0，由已知 ＞0，又 x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在〔－1，1〕上为增函数.
(2)解：∵f(x)在〔－1，1〕上为增函数，
∴ 解得：{x|－ ≤x＜－1，x∈R}
(3)解：由(1)可知f(x)在〔－1，1〕上为增函数，且f(1)=1，故对x∈〔－1，1〕，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈〔－1，1〕，a∈〔－1，1〕恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈〔－1，1〕，g(a)≥0，只需g(a)在〔－1，1〕上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2.∴t的取值范围是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}.
〔例2〕设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M 〔1，4〕，求实数a的取值
范围.
命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.
知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.
错解分析：M= 是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错.
技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.
解：M 〔1，4〕有n种情况：其一是M= ，此时Δ＜0；其二是M≠ ，此时Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M= 〔1，4〕
(2)当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时M={－1}�〔1，4〕；当a=2时，m={2} 〔1，4〕.
(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=〔x1，x2〕，M 〔1，4〕 1≤x1＜x2≤4
即 ，解得：2＜a＜ ，
∴M 〔1，4〕时，a的取值范围是(－1， ).
●锦囊妙计
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.
(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.
(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)设函数f(x)= ，已知f(a)＞1，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(－ ，+∞) B.(－ ， )
C.(－∞，－2)∪(－ ，1) D.(－2，－ )∪(1，+∞)
二、填空题
2.(★★★★★)已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是( ， )，则f(x)•g(x)＞0的解集是__________.
3.(★★★★★)已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是__________.
三、解答题
4.(★★★★★)已知适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3.
(1)求p的值；
(2)若f(x)= ，解关于x的不等式f-－1(x)＞ (k∈R+)
5.(★★★★★)设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)= ，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切实数x都成立，证明你的结论.
6.(★★★★★)已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2.
(1)求p、q之间的关系式；
(2)求p的取值范围；
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值.并求此时f(sinθ)的最小值.
7.(★★★★)解不等式loga(x－ )＞1
8.(★★★★★)设函数f(x)=ax满足条件：当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1 时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
难点磁场
解：原不等式可化为： ＞0，
即〔(a－1)x+(2－a)〕(x－2)＞0.
当a＞1时，原不等式与(x－ )(x－2)＞0同解.
若 ≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若 ＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞， )∪(2，+∞).
当a＜1时，若a＜0，解集为( ，2)；若0＜a＜1，解集为(2， )
综上所述：当a＞1时解集为(－∞， )∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2， )；当a=0时，解集为 ；当a＜0时，解集为( ，2）.
歼灭难点训练
一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：
① 或 ② 或 ③
解①得a＜－2，解②得－ ＜a＜1，解③得x∈
∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(－ ，1）
答案：C
二、
2.解析：由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，g(x)＜0的解集是(－ ).由f(x)•g(x)＞0可得：
∴x∈(a2， )∪(－ ，－a2)
答案：(a2， )∪(－ ，－a2)
3.解析：原方程可化为cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原问题转化为方程t2－2t－a－1=0在〔－1，1〕上至少有一个实根.令f(t)=t2－2t－a－1，对称轴t=1，画图象分析可得 解得a∈〔－2，2〕.
答案：〔－2，2〕
三、
4.解：(1)∵适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3，
∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x.
若|x2－4x+p|=－x2+4x－p，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，其解集不可能为{x|x≤3}的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p.
∴原不等式为x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.
(2)f(x)= ，∴f-－1(x)=log8 (－1＜x＜1 ，
∴有log8 ＞log8 ，∴log8(1－x)＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k.
∵－1＜x＜1，k∈R+，∴当0＜k＜2时，原不等式解集为{x|1－k＜x＜1}；当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1 .
5.解：由f(1)= 得a+b+c= ，令x2+ =2x2+2x+ x =－1，由f(x)≤2x2+2x+ 推得
f(－1)≤ .
由f(x)≥x2+ 推得f(－1)≥ ，∴f(－1)= ，∴a－b+c= ，故
2(a+c)=5，a+c= 且b=1，∴f(x)=ax2+x+( －a).
依题意：ax2+x+( －a)≥x2+ 对一切x∈R成立，
∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，
∴f(x)= x2+x+1
易验证： x2+x+1≤2x2+2x+ 对x∈R都成立.
∴存在实数a= ，b=1，c=1，使得不等式：x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切x∈R都成立.
6.解：(1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即当x∈〔－1，1〕时，f(x)≤0，当x∈〔1，3〕时，f(x)≥0，∴当x=1时f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p)
(2)f(x)=x2+px－(1+p)，
当sinθ=－1时f(－1)≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0
(3)注意到f(x)在〔1，3〕上递增，∴x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3.
此时，f(x)=x2+3x－4，即求x∈〔－1，1〕时f(x)的最小值.又f(x)=(x+ )2－ ，显然此函数在〔－1，1〕上递增.
∴当x=－1时f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6.
7.解：(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组
由此得1－a＞ .因为1－a＜0，所以x＜0，∴ ＜x＜0.
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：
由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜ ，∴1＜x＜ .
综上，当a＞1时，不等式的解集是{x| ＜x＜0 ，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜ }.
8.解：由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1 恒成立.
在x∈(0，1 恒成立.
整理，当x∈(0，1)时， 恒成立，即当x∈(0，1 时， 恒成立，且x=1时， 恒成立，
∵ 在x∈(0，1 上为减函数，∴ ＜－1，
∴m＜ 恒成立 m＜0.
又∵ ，在x∈(0，1 上是减函数，�
∴ ＜－1.
∴m＞ 恒成立 m＞－1当x∈(0，1)时， 恒成立 m∈(－1，0)①
当x=1时， ，即是 ∴m＜0 ②
∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1 时，f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)
《二元一次方程组》复习专题
湖北省钟祥市罗集一中（431925）熊志新 唐志凌
一、知识结构图
二、具体知识点
1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如 等，都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数，如xy=2不是二元一次方程。
2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。
3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，如：
等都是二元一次方程组。
4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。
5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解
检验方法：把一对数值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程，如果这对未知数既满足方程(1)，又满足方程(2)，则它就是此方程组的解。
6．二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法
三、理解解二元一次方程组的思想
四、解二元一次方程组的一般步骤
（一）、代入消元法
（1）从方程中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的未知数用另一个未知数的代数式来表示，如用 表示 ，可写成 ；
（2）将 代入另一个方程，消去 ，得到一个关于 的一元一次方程
（3）解这个一元一次方程，求出 的值；
（4）把求得的 的值代入 中，求出 的值，从而得到方程组的解．
（二）、加减法
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，也不相等时，可用适当的数乘以方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等，得到一个新的二元一次方程组；
（2）把这个方程组的两边分别相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程；
（4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。
一般来说，当方程组中有一个未知数的系数为1（或一1）或方程组中有1个方程的常数项为0时，选用代入消元法解比较简单；当同一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单。
五、列一次方程组解应用题
列一次方程组解应用题，是本章的重点，也是难点。列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系；
（2）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x、y，设未知数要带好单位名称）；
（3）找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；
（4）列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方
程组；
（5）解：解所列方程组，得未知数的值；
（6）答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。
归纳为6个字：审，设，找，列，解，答。
六、典例解析
例1：判断下列方程是不是二元一次方程
分析：判断一个方程是否是二元一次方程需满足以下几条要求①含有两个未知数，②未知项的次数是“1”，③任何一个二元一次方程都可以化成 ，（ 为已知数）的形式，这种形式叫做二元一次方程的一般形式.也就是说任何一个方程只要能化成 （ ）.这个方程就是二元一次方程.
解：(1)不是，∵未知项次数为2；
（2）是，∵经过化简为 ，符合一般形式，∴是；
（3）不是，∵xy的次数是2；
（4）是，∵经过化简为x－y＝0，即符合定义，又能化为一般形式；
（5）不是，∵含有三个未知数，同时未知项 次数为2；
（6）不是，∵ 不是整式，像这样分母中含有未知数的方程都不属于二元一次方程；
例2：在下列每个二元一次方程组的后面给出了x与y的一对值，判断这对值是不是前面方程组的解？
（1） （2）
分析：把给出的x与y的一对值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程若使(1)、(2)两个方程左、右两边都相等，才是方程组的解，否则不是。
解：（1）把 代入方程(1)得，左边＝5，右边＝5，左边＝右边，
把 代入方程(2)得，左边＝7，右边＝70，左边≠右边。
∴ 不是方程组 的解。
（2）把 分别代入方程组的(1),(2)两个方程，都满足：左边＝右边，
∴ 是方程组 的解.。
说明：判断一对数是否是方程组的解，必须满足方程组的两个方程。
例3：解方程组
分析：方程①可以把y看作2+x，则方程②中的y就可以和2+x来代替，这样方程②就可以转化为一元一次方程．
解：把①代入②得 2x+2+x=6 3x=4 ∴
把 代入①得 ，∴ 。
∴
例4：甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动。甲车的速度较快，当两车反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两车同向运动时，每1分钟相遇一次，求两车的速度。
分析：在环路问题中，若两人同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。
解：设甲、乙两车的速度分别为每秒 x米和每秒y米，根据题意，得
经检验，符合题意。
答：甲、乙两车的速度分别为25米/秒，15米/秒。
例5：张华到银行以两种形式分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息
所得税后可得到利息43.92元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利
率各是百分之几？（注：利息所得税=利息全额×20%）。
分析：利率问题：利息=本金×利率×时间。
解：设2000元、1000元的年利率分别为x%和y%，则根据题意，得方程组。
解方程组，x=2.25，y=0.99，
答：两种储蓄的年利润分别为2.25%和0.99%。
例6、某家具厂生产一种方桌，设计时1立方米的木材可做50个桌面，或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面在和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套，并指出共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）。
分析：解有关配套问题，要根据配套的比例，依据特定的数量关系列方程（组）求解。
解：设用x立方米的木材做桌面，y立方米的木材做桌腿，根据题意，
经检验符合题意，
此时，可做方桌为50×6=300（张）。
答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌。
例7：以二元一次方程 的解为坐标的点在平面直角坐标系中的图象是一条直线。根据这个结论，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组 中两个二元一次方程的图象，并根据图象写出这个二元一次方程组的解。
分析：因为任意两点可以确定一条直线，故只要分别列出两个点符合二元一次方程（1）、
（2）即可画出这两个二元一次方程的图象来。
解：由二元一次方程 （1）得：
x 0 2
y 4 0
由二元一次方程 （2）得：
X 0 -1
y 1 0
在同一直角坐标系中分别画出这两个二元一次方程的解的图象。
由图象可知：这两个二元一次方程的解的图象交于点P（1，2）。
∴方程组 的解为 。
例8：某市菜牛公司利用草场放牧菜牛代替圈养，公司有两处草场；草场甲的面积为3公顷，草场乙的面积为4公顷，两草场的草长得一样高，一样密，生长速度也相同。如果草场甲可供90头牛吃36天，草场乙可供160头牛吃24天（草刚好吃完），那么两处的草场合起来可供250头牛吃多少天？
分析：若直接设问题求解比较复杂，解决此问题关键是：每天牛吃草量；每公顷草场每天长草多少；同时还要知道每公顷草场的原有草量（此量只参与换算，没有必要求出来，可视为单位“1”）是多少。
解：设以原1公顷的草场的草量为1个单位，每头牛每天吃草为x个单位，每公顷草场每天长草为y个单位，则。
又设两处草场合起来可供250头牛吃a天，则。
得a = 28 故可吃28天。
(1)初一方程与应用题复习题
一、选择题：
1、方程x(x＋1)=0的根是 （ ）
（A）0 （B）1 （C）0和1 （D）0和－1
2、若方程(2a＋1)x2＋bx＋c=0是关于x的一元一次方程，则字母系数a和b的值必须是 （ ）
（A）a= ，b=0，c为任意数 （B）a≠ ，b≠0，c=0
（C）a= ，b≠0，c≠0 （D）a= ，b≠0，c为任意数
3、已知方程①3x－1=2x＋1，②x＋ = (x－ )，③ x－1=x，④ ＋ =7－ 中，解为x=2的是方程 （ ）
（A）①、②和③ （B）①、③和④ （C）②、③和④ （D）①、②和④
4、已知某数x，若比它的 大1的数的相反数是5，求x。则可列出方程 （ ）
（A）－ x＋1=5 （B）－( x＋1)=5 （C） x－1=5 （D）－x( x＋1)=5
二、解下列方程（每题4分，共16分）
1、． [ ( x－1)－4 ]=x＋2 2． －1= －
3． { [ ( ＋4)＋6]＋8}=1 4． － = －x
三、列方程解应用题：
1．快车每小时行72千米，慢车每小时行60千米，它们分别从甲、乙两站同时相向出发，两车相遇前，慢车因故停车1.5小时，相遇时，快车所走路程恰是慢车所走路程的3倍，求甲、乙两站的距离。（6分）
2、．一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天。若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲工作，问还需多少天能完成这项工程的 ？（7分）
3．两桶内共有水48千克，如果甲桶给乙桶加水一倍，然后乙桶又给甲桶加甲桶剩余水的一倍，那么两桶内的水的重量相等。问：原来甲、乙两桶内各有多少千克水？（7分）
4、甲、乙两个三角形，它们各自三条边的比都是2∶4∶5。甲三角形的最长边是乙三角形最长边的2倍，甲三角形的周长的 比乙三角形的周长多11厘米。问甲、乙两个三角形的最短边的长分别为多少厘米？（7分）
答案
一、1．D 2。D 3。B 4。B
二、1．x=－6 2．x= 3．x=1 4．x=0.1
5．x= 6．（1）m= （2）
三、
1． 240千米
2、2天
3．甲桶原有水30千克，乙桶原有水18千克
4．甲、乙两个三角形的最短边分别是12㎝和6㎝
5。2
6．1或－1 9．6
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