Question

在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC上一点,AE⊥BD于E,延长AE交BC与F,.问,当点D满足什么条件时,∠ADB=∠CDF

如图片

Answer 1

方法一：
作D关于BC的对称点G连接FG、CG
由于角ADB=角BAF 所以角FDC=角BAF
而角B=角C=45°
所以角AFB=180°-角B-角BAF=180°-角C-角CDF=角DFG
所以角AFD+角DFG=角AFD+角DFC+角AFB=180°
所以A、F、G共线
又因为角CAG=角ABD
角ACG=2*45°=90°=角BAD
所以三角形BAD全等于三角形ACG
所以CG=AD
又CG=DC
所以AD=DC

方法二：
解：沿F做到AC的垂线FG
由等比三角形关系知：三角形ABD,三角形GAF,三角形GFD是等比三角形(很容易证明的哦)：
有关系：FG/AG=DG/FG=AD=AB
又因为三角形ABC和GFC为等腰直角三角形(很容易证明）有：FG=GC和AB=AC
因为：FG/AG=DG/FG=AD/AB
所以：FG/AG=DG/FG=AD/AB
=（FG+DG+AD)/（AG+FG+AB)
=（GC+DG+AD)/(AG+GC+AB)
=AC/(AC+AB)
=1/2
即：FC/AG=DG/FC=AD/AB=1/2
则：AD/AC=1/2
D为AC 的中点；

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/71677189.html?si=3

祝你学习天天向上，加油！！！！！！！！！！

Answer 2

当D为AC中点时,∠ADB=∠CDF

因AE垂直BD
所以:在RT三角形ABD内,
角ABD=角CAF

作CG平行AB交AF延长线于G
因AB=AC,角ABD=角CAF
则:三角形ABD全等于三角形ACG
CG=AD=AC/2=DC
而:角DCF=45度, 角GCF=角ABC=45度,
角DCF=角GCF
FC为公共边
所以:三角形CDF全等于三角形CGF
所以:角CDF=角CGF
而:在RT三角形ABD中,角ADB=角BAE
CG平行AB, 角CGF=角BAE
所以:角ADB=角CDF

Answer 3

当D为AC的中点时，∠ADB=∠CDF

证明：作∠BAC的平分线，交BD于点G
∵∠ABG+∠BAE=∠CAF+∠BAE=90°
∴∠ABG＝∠CAF
∵∠BAG=∠C=45°，AB=AC
∴△ABG≌△ACF
∴AG=CF
∵AD=CD
∠GAD=∠C=45°
∴△CFD≌△AGD
∴∠ADB=∠CDF

慢了一步，不过绝对原创，不抄袭

Answer 4

结论：当D为AC的中点时，∠ADB=∠CDF

证明：作∠BAC的平分线AH交BD于点G ，
则∠BAG=∠GAD=∠C=45°
∵AE⊥BD于E
∴∠ABG+∠BAE=90°，∠CAF+∠BAE=90°
∴∠ABG＝∠CAF
∵AB=AC
∴△ABG≌△ACF (ASA)
∴AG=CF
∵∠GAD=∠C,∠ADB=∠CDF
∴△CFD≌△AGD(AAS)
∴AD=CD
既D是AC的中点