Question

试确定一切有理数r，使得关于X的方程rx平方+（r+2）x+3r-2=0有根且只有整数根

这位老凶 江湖新秀架势不错，可惜错了，答案是0，2/3，-2/9希望各路高人帮忙

Answer 1

r=0时 方程为2x-2=0 有整数根x=1
r≠0时 方程为2次方程
△=(r+2)^2-4r(3r-2)=-11r^2+12r+4≥0
-0.27<（6-4sqr5）/11≤r≤（6+4sqr5）/11<1.36
两根均为整数根 则x1+x2与x1x2均为整数
即-1-2/r与3-2/r均为整数
则r=2/t (t∈Z)
2/t∈（-0.27，1.36）
解得t∈（-无穷，-8]∪[2,+无穷）

Answer 2

当r=0, 2x-2=0, x=1, 方程只有整数根

当r不等于0
x^2+(1 +(2/r))x+(3-(2/r))=0
两根和=-(1+(2/r))=整数
所以：2/r为整数
设n=2/r=整数
x^2+(1+n)x+(3-n)=0
n=(x^2+x+3)/(1-x)
=-x-2+[5/(1-x)]
因x,n都是整数，只能1-x=+ -1, x=0,或x=2, 则n=3,或n=-9
或者只能1-x=+ -5, x=-4,或x=6, 则n=3,或n=-9

所以，只能有n=3或-9
所以：r=2/3,或-2/9,带入方程，满足：有根且只有整数根

综合以上：
r=0, 或2/3, 或-2/9