Question

急！！！数学建模题

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。
（要详细点的解答过程）答的好的我追加！！！

Answer 1

建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最少。 主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。 2.2 模型假设及符号说明 (1)把人体视为长方体，身高h米，宽度 米，厚度 米。淋雨总量用C 升来记。 wd(2)降雨大小用降雨强度(/ )I cm h来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 (3)风速保持不变。 (4)你一定常的速度跑完全程 米。 ( / )v m sD2.3模型建立与计算 (1)不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨面积: (米 ) 22Swhdh w=++ d2雨中行走的时间: Dtv=(秒) 降雨强度 :0.01(/ ) 0.01 ( / )( /3600III==厘米 时米 时米 秒)淋雨量： 30.0110()(36003600IStDISCv==米升)m（模型中 D，I，S 为参数，而 v 为变量。） 结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。若取参数时，则。1000 ,2/ ,1.5 ,0.5 ,0.2Dm Icm h hm wm d=====22.2m=有S
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若你在雨中行走的最大速度6 /vm s=，则计算得你在雨中行走了 167 秒，即 2分 47 秒。从而可以计算被淋的雨水总量为2.041S =升。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了 2 分 47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因是不考虑降雨的方向的假设，使问题过于简化。 (2)考虑降雨方向。若记雨滴下落速度为 （米/秒）,雨滴的密度为 ，r,1p p ≤I表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。 d w w 雨滴下落的反方向 H h θv 人前进的方向 所以， I rp=因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。 顶部的淋雨量 1sinDwdprCθv=/D v 表示在雨中行走的时间，wd 表示顶部面积，rsinθ表示雨滴垂直下落的速度。前表面淋雨量 2( ( cos))Dwh p rvCvθ+=总淋雨量（基本模型） 12( sin( cos))pwDC C Cdrh rvvθθ=+=++取参数rm64 / ,3600 2/ ,1.39 10−s Icm s p==×=×,则计算得 46.95*10(0.8sin6cos1.5 )Cvvθθ−=++
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可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。这样问题转化为给定θ，如何选择 v，使得 C 最小。 情形 1 090θ=46.95 10 (0.8/1.5)Cv−=×+结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。 假设你以 6 米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得4311.3 101.13Cm−=×=升情形 2 时 060θ=46.95 10C−=× （1.5+（4 3+3）/v）结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。 假设你以 6 米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得 4314.7 101.47Cm−=×=升情形 3 900＜θ＜1800时 此时，雨滴将从后面向你身上落下。 C =6.95×10 [（0.8sin4−θ+6cosθ）/v + 1.5] 令θ=α+90 ，则 0＜0α＜ 900。计算得 46.95 10 ((0.8cos6sin )/1.5)Cvαα−=×−+当α从 时，C 可能取负值，这是不可能的。出现这个矛盾的原因是我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。 0090→0当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 sinr rα≤，这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是( sin)Dpwh rvvα−淋雨总量为 ( cos( sin))Dwp drh rvCvαα+−=当 v=sinα时，C 取到最小值。 cossinDCwdprrαα=再次代入数据，得 C=6.95×10 （0.8cos4−α）/(4sinα)
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结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 若雨滴是以的角度落下，即雨滴以0120α=30 的角从背后落下，你应该以的速度行走，此时，淋雨量为 。04sin302 /v == m s46.95 100.24C−=×=3（0.8 3/2）/2m升这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。 当行走速度快与雨滴的水平运动速度，即 v>rsinα，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是(sinDpwh v rv)α−淋雨总量为( cos(sin ))Dwp drh v rCvαα+−=( cossin )// )Dwpr drv h rαα=−+当 cossin0,drvαα−>尽可能大，C 才可能小。 当 cossin0,drvαα−<尽可能小，C 才可能小。 而当sin ,sin ,v rvrCαα>→所以才可能最小。 若取时，06 / ,30vm sα==46.95 100.77C−=×=3（0.4 3+6）/6m升2.4 结论 若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。

Answer 2

将人体简化为一个长方体，高a (m), 宽b (m)，厚c (m)，设跑步距离d (m), 跑步最大速度为vm (m/s)，雨速u (m/s)，降雨量w (cm/h)，记跑步速度为v, 按以下步骤进行讨论：
(1) 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为ө，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w, ө之间的关系，问速度v为多大，总淋雨量最少。
(2) 雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图3。建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w, α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
(3) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

把空间分为两部分,头所在平面以上和以下.(头上部分为竖直接雨面积,头下的分为前后和左右两方向)
(1) 雨从迎面吹来:
1.整个头下的场中雨滴可看作是不动的,人是往上撞的,所以,在前后方向淋雨量与速度无关(W1=abd).
2.头上部分(竖直接雨面),接雨量与速度成反比.(注:无论雨从上面那个方向将下,人静止时落在头上的雨量相等)(下落到头上的,单位时间单位面积上的降雨量W0=ucosө，跑步距离d (m)的时间为t=D/V,降雨量W2= W0tbc= ucosөDbc/V. ).
(2)雨从背面吹来:
1.在前后方向上,如果人和雨的速度相同时(理想状态),前后左右不会碰上雨水.
2.头上部分(竖直接雨面),和"(1)"相同.
(3)雨有侧向(左右)速度时,只需在(1)(2)的讨论后加上侧面淋雨量(求法与头上的相同).