Question

已知如图矩形ABCD的外角平分线分别交于点E、F、G、H。求证四边形EFGH是正方形

已知如图矩形ABCD的外角平分线分别交于点E、F、G、H。求证四边形EFGH是正方形

Answer 1

1、这个题目看起来是一个很简单的题目,其实要严格证明,却不简单。这里面有一个不太容易引起人们注意的陷阱，即多边形EFGH是四边形，也就是说要证明E、A、H在同一条直线上，H、D、G在同一条直线上，G、C、F在同一条直线上，F、B、E在同一条直线上。显然楼上几位都没考虑这点。 

2、证明： 

□ABCD是矩形，AH、AE、DH是外角平分线， 

∴∠1=45°,∠2=45°,∠3=45°,∠BAD=90° 

∴∠1+∠2+∠BAD=180,∠2=∠3=45° 

∴E、A、H在同一条直线上,△HAD为等腰直角三角形, 

∴∠H=90°,HA=HD=√2/2AD, 

同理,H、D、G在同一条直线上，G、C、F在同一条直线上，F、B、E在同一条直线上, 

∠E=90°,EA=EB=√2/2AB, 

∠F=90°,FB=FC=√2/2BC, 

∠G=90°,GC=GD=√2/2CD, 

□EFGH是矩形, 

又∵EF=EB+FB, 

FG=FC+GC, 

GH=GD+HD, 

HE=HA+EA, 

由□ABCD是矩形,得AB=CD,AB=BC, 

故EF=FG=GH=HE, 

□EFGH是正方形。 

3、以前做过的有陷阱的题目，提供给你参考，希望对你有帮助。 

这种题目都是看似简单，实际不简单的题目。经常在竞赛活动中出，不注意很容易丢分。

Answer 2

因为ABCD是矩形，则可知各内角都是90度。则外角也是90度。而外角平分后是45度，因此可得出三角形AHD是等腰三角形，同理证得EFGH的各角都是90度。从而证明EFGH是矩形。
已经证明了AHD是等腰三角形，因此AH=HD，同理DG=GC，CF=FB,BE=EA，又因为AD=BC,AB=DC,怎可证得AH=HD=BF=FC,DG=GC=BE=EA，最终证得EA+AH=HD+DG=GC+CF=FB+BE，四边相等，则可证得EFGH是正方形。

Answer 3

根据图中的直角，可以确定EFGH是4个直角，所以先确定EFGH是矩形，根据外角平分线，可以确定AH=DH=BF=CF=a
AE=BE=DG=CG=b，所以四条边都是相等,都等于a+b,所以矩形EFGH是正方形