Question

简单不等式的证明

已知 a,b,c ∈（0，1），求证 （1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 不同时大于 1/4.
(提示：反证法）

Answer 1

你知道用反证法还来问？
假设都大于1/4
∵a,b,c∈(0,1)
∴(1-a)+b≥2√(1-a)b＞2√(1/4)=1
(1-b)+c≥2√(1-b)c＞2√(1/4)=1
(1-c)+a≥2√(1-c)a＞2√(1/4)=1
三式相加：(1-a)+b+(1-b)+c+(1-c)+a＞3
即：3＞3，矛盾！
所以，不能同时大于1/4

Answer 2

假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 都大于 1/4
则(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a>1/64
只要证明(1-a)b*(1-b)c*(1-c)a<=1/64，则假设不成立，原命题成立
也就是证(1-a)a*(1-b)b*(1-c)c<=1/64
显然0<a<1时，0<（1-a)a=-(a-1/2)^2+1/4<=1/4
同样的也有0<(1-b)b<=1/4; 0<(1-c)c<=1/4
三式相乘即有(1-a)a*(1-b)b*(1-c)c<=1/64
所以假设不成立，原命题得证