Question

简单不等式证明

1、a、b属于正实数，证：1/a+1/b≥4/(a+b)
2、a、b属于正实数，证：a²/b≥2a-b
3、a、b属于实数，证：2（a²+b²)≥(a+b)²
4、a、b属于实数，证：(a/b)²≥2a/b-1
5、a、b属于实数，证：a/b+b/a≥2

Answer 1

1、 (a－b)²≥0
a²+b²－2ab≥0
a²+b²≥2ab
a²+b²＋2ab≥4ab
(a＋b)²≥4ab
∵ a, b都是正实数
∴ 在不等式两边同除以(a＋b)ab，不等号方向不变。
即：(a＋b)/ab≥4(a＋b)
得：1/a＋1/b≥4/(a＋b)

2、 (a－b)²≥0
a²+b²－2ab≥0
a²≥2ab－b²
∵ a, b都是正实数
∴ 在不等式两边同除以b，不等号方向不变
得：a2/b≥2a－b

3、 (a－b)²≥0
a²+b²－2ab≥0
a²+b²≥2ab
2(a²+b²)≥a²+b²＋2ab
2(a²+b²)≥(a+b)²

4、 (a－b)²≥0
a²+b²－2ab≥0
a²≥2ab－b²
不等号两边同除以b2
得：(a/b)²≥2a/b－1

5、 (a－b)²≥0
a²+b²－2ab≥0
a²+b²≥2ab
不等号两边同除以ab
得：a/b＋b/a≥2
(注：第五题要附加一个条件：a、b同号，也即：a与b必须同时大于零或同时小于零)