Question

已知函数f(x)=(2x-b)/(x-1)^2,求导函数f'(X),并确定f(x)的单调区间

Answer 1

f'(x)=[2(x-1)^2-2(x-1)(2x-b)]/(2x-1)^4
=2(x-1)[x-1-2x+b]/(2x-1)^4
=2(x-1)(-x+b-1)/(2x-1)^4
=-2(x-1)[x-(b-1)]/(2x-1)^4

b-1=1,b=2时，f'(x)<=0,

b-1>1,b>2时

b-1<1,b<0时

进行讨论
此外还要考虑x不等于1

Answer 2

f'(x)={(2x-b)'(x-1)^2-(2x-b)[(x-1)^2]'}/(x-1)^4
=[2(x-1)^2-2(2x-b)(x-1)]/(x-1)^4
=[2(x-1)-2(2x-b)]/(x-1)^3
=(-2x+2b-2)/(x-1)^3

若f'(x)>0
则(x-b+1)(x-1)^3<0
x-1不等于0
所以(x-b+1)(x-1)<0
若b-1<1,即b<2,则b-1<x<1
若b-1=1,即b=2,(x-1)^2<0不成立
若b-1>1,即b>2,1<x<b-1

所以
当b<2,增区间(b-1,1),减区间(-∞,b-1),(1,+∞)
当b=2,没有增区间，减区间是R
当b>2,增区间(1,b-1),减区间(-∞,1),(b-1,+∞)