Question

如何证明等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高？

要详细一点的。拜托了，谢谢！

Answer 1

已知：三角形ABC中，AB=AC，P是底边BC上任意一点，PD垂直于AB，PE垂直于AC。BF是AC上的高。

求证：PD+PE=BF

证明：

因为 BF垂直于AC，PE垂直于AC

所以BF平行于PE

所以角FBC=角PEC

又因为 BF垂直于AC，PE垂直于AC

所以三角形BFC相似于三角形PEC

所以PE:BF=PC:BC

因为PD垂直于AB BF垂直于AC

由AB=AC可以得出角ABC=角ACB

所以三角形BFC相似于三角形PDB

所以有PD:FB=BP:BC

所以(PC+BP):BC=(PD+PE):BF

即BC:BC=(PD+PE):BF

  (PD+PE):BF=1

   PD+PE=BF

写得累死我了，够详细了吧。。。。分分给点！

Answer 2

已知：三角形ABC中，AB=AC，P是底边BC上任意一点，PD垂直于AB，PE垂直于AC。BF是AC上的高。

求证：PD+PE=BF

证明：

因为 BF垂直于AC，PE垂直于AC

所以BF平行于PE

所以角FBC=角PEC

又因为 BF垂直于AC，PE垂直于AC

所以三角形BFC相似于三角形PEC

所以PE:BF=PC:BC

因为PD垂直于AB BF垂直于AC

由AB=AC可以得出角ABC=角ACB

所以三角形BFC相似于三角形PDB

所以有PD:FB=BP:BC

所以(PC+BP):BC=(PD+PE):BF

即BC:BC=(PD+PE):BF

  (PD+PE):BF=1

   PD+PE=BF

Answer 3

连接该点与顶点可以分成两个三角形，设该点到左侧的距离为h1，到右侧的距离为h2，腰长为l，腰上的高为h
两个三角形的面积和=左边三角形面积+右边三角形面积=l*h1/2+l*h2/2=(h1+h2)*l/2,
原三角形面积为l*h/2=(h1+h2)*l/2,于是有h=h1+h2,得证

Answer 4

在三角形ABC中,
角C=90°,
因为是等腰三角形,
所以角A=角B=45°,
在底边上找一点F点向两腰做垂线交AC于D点,
交BC与E点,
所以FE=DC,DF=CE
因为角B,角A为45°,
所以EB=FE,AD=DF,
因为AC=AD+DC,BC=CE+EB,
所以等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高

Answer 5

证明见答案
建立如图所示的直角坐标系．设
，
，
其中
，
．则直线
的方程为
，直线
的方程为
．设底边
上任意一点为
，则
到
的距离
；
到
的距离
；
到
的距离
．因为
，所以，结论成立．