Question

求一题初中数学几何题的解法

如图，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动
1.试判断四边形PQEF是什么形状，并证明
2.PE是否总过某一定点？并说明理由
3.四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小？位于何处时，其面积最大？各是多少？

Answer 1

1.正方形
四个动点，P.Q.E.F分别从正方形ABCD的顶点A.B.C.D同时出发，沿着AB.BC.CD.DA以同样速度向B.C.D.A移动
可得AP=BQ=CE=DF
PB=QC=ED=FA
可得△APF≌△BQP≌△CEQ≌△DFE
得PQ=QE=EF=FP
∠FPA=∠PQB
又∠PQB+∠QPB=90
所以∠FPA+∠QPB=90
∠FPQ=90
所以PQEF为正方形

2.PE总过对角线AC，BD的交点（正方形ABCD的几何中心）

3.与A,B,C,D重合时最大，在正方形ABCD各边中点时最小。
最大的就是正方形ABCD的面积，即边长的平方，
最小的是最大的一半

Answer 2

非常简单，由于昨晚我们这里网络全部掉线，现在补做，希望你见谅
解答如下
解：
1.显然四边形PQEF是正方形
证明如下
证明：由于四动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以等速向B，C，D，A各点移动
则AP=BQ=CE=DF,AF=BP=CQ=DE
根据直角三角形全等的判定(HL判定)，三角形APF，三角形BQP,三角形CEQ,三角形DFE，两两全等
从而PF=QP=EQ=FE,且角APF+角BPQ=90度
所以这是一个有一个角是直角的菱形
即为正方形
所以四边形PQEF是正方形
2.PE过正方形ABCD的中心
证明如下
证明：连结PE,QF,设交点为O，显然三角形POQ，三角形QOE，三角形EOF，三角形FOP两两全等且面积相等
第一问中已证三角形APF，三角形BQP,三角形CEQ,三角形DFE，两两全等
根据凸四边形的对应边对应角都相等则凸四边形全等
从而上述对应三角形构成凸四边形都对应全等
从而其PQEF的中心点O也是ABCD的中心
证毕
3.当正方形PQEF的顶点分别处于正方形ABCD的中点时，其面积最小，是正方形ABCD面积的一半
当正方形PQEF的顶点和正方形ABCD的顶点重合时，其面积最大，就等于正方形ABCD的面积。
对于面积最小的时候的取法其实是有理论依据的，就是不知道你是不是学过，由于每个直角三角形，三角形APF，三角形BQP,三角形CEQ,三角形DFE，(两两全等)
则显然其每个直角三角形的直角边的和是定值，其和为正方形ABCD的边，根据均值不等式的性质，AP*AF≤(AP+AF)^2/4,不等式右端是定值，且AP=AF时取等号，也就是达到最大值，也就是说AP*AF达到最大值，从而正方形PQEF达到最小值，此时显然正方形PQEF四个顶点在正方形ABCD四个边的中点，这就是取中点达到最小值的理论依据。

Answer 3

1 正方形
2 过正方形对角线焦点
3位于 顶点处最大 位于AD中点处最小