Question

求解一道微积分题（第一类曲面积分）

求底面圆半径相等的两个直交圆柱面x^2+y^2=R^2 及 x^2+z^2=R^2所围立体的表面积

Answer 1

面积 = ∫∫dS = ∫∫√[1+(z'x)²+(z'y)²]dxdy
第二个是二重积分，z = f(x,y)是围成立体的上下两个面，就是躺着的圆柱体表面x² + z² = R²的一部分，且在xOy平面上的投影是圆x² + y² = R²
则(z'x)² = x²/(R²-x²),(z'y)² = 0
面积 = ∫∫R/√(R²-x²) dxdy
= ∫(-R,R)dx∫[-√(R²-x²),√(R²-x²)] R/√(R²-x²) dy
= ∫(-R,R) R/√(R²-x²) * 2√(R²-x²) dx
= 4R²

Answer 2

所围成的立体是个球，且半径为R,所以表面积为4pai R^2

Answer 3

牟合方盖问题……