Question

问一个很有难度又有深度思维带点弧度的数学题

对于函数f(x)=a＾2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.问:(1)若对于任何实数b,函数f(x)恒有两相异的不动点,求实数a的取值范围.(2)在(1)的条件下判断直线L:y=ax-2a^2与圆（x-2）^2+（y-3）^2=4a^2+4的位置关系

Answer 1

(1)由题可得 x=ax2+(b+1)x+b-2 其方程解即为x0
有ax2+bx+b-2=0 即不论b取何值 该方程都有两个不同解
b2-4a(b-2)>0 =>b2>4a(b-2)
对于函数g(x)=x2/4(x-2)在(-00,0),(4,+00)上为增函数 在(0,2),(2,4)上为减函数
1.当b>2时 b2/4(b-2)>a 而b2/4(b-2)的最小值为g(4)=2 =>a<2
2.当b<2时 b2/4(b-2)<a 而b2/4(b-2)的最大值为g(0)=0 =>a>0
3.当b=2时 b2=4>0 恒成立 =>a可为任一实数
综上 取三者交集 得 a={a|0<a<2}
(2)直线为 ax-y-2a2=0 设直线到圆的距离为d 则
d=|2a-3-2a2|/√(a2+1) 而(2a-3-2a2)的的最大值在1/2处 等于-5/2<0
故|2a-3-2a2|=2a2-2a+3 而圆的半径r为2√(a2+1)
所以d-r=|2a-3-2a2|/√(a2+1)-2√(a2+1)=（2a2-2a+3-2a2-2)/√(a2+1)
即(-2a+1)/√(a2+1)
故1.当0<a<1/2时 d>r 为相离
2.当1/2<a<2时 d<r 为相交
3.当 a=1/2 时 d=r 为相切

Answer 2

(1)由题可得
x=ax2+(b+1)x+b-2
其方程解即为x0
有ax2+bx+b-2=0
即不论b取何值
该方程都有两个不同解
b2-4a(b-2)>0
=>b2>4a(b-2)
对于函数g(x)=x2/4(x-2)在(-00,0),(4,+00)上为增函数
在(0,2),(2,4)上为减函数
1.当b>2时
b2/4(b-2)>a
而b2/4(b-2)的最小值为g(4)=2
=>a<2
2.当b<2时
b2/4(b-2)<a
而b2/4(b-2)的最大值为g(0)=0
=>a>0
3.当b=2时
b2=4>0
恒成立
=>a可为任一实数
综上
取三者交集
得
a={a|0<a<2}
(2)直线为
ax-y-2a2=0
设直线到圆的距离为d
则
d=|2a-3-2a2|/√(a2+1)
而(2a-3-2a2)的的最大值在1/2处
等于-5/2<0
故|2a-3-2a2|=2a2-2a+3
而圆的半径r为2√(a2+1)
所以d-r=|2a-3-2a2|/√(a2+1)-2√(a2+1)=(2a2-2a+3-2a2-2)/√(a2+1)
即(-2a+1)/√(a2+1)
故1.当0<a<1/2时
d>r
为相离
2.当1/2<a<2时
d<r
为相交
3.当
a=1/2
时
d=r
为相切