Question

三角形ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC的值为???求解法

Answer 1

Ⅰ在三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC
那么假设三边为 a=2n, b=3n, c=4n
在三角形ABC中，有a^2=b^2+c^2-2bccosA
那么cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(9n^2+16n^2-4n^2)/(2*3n*4n)=7/8

Ⅱ因为sinA:sinB:sinC=a:b:c
所以a:b:c=2:3:4
设a=2k b=3k c=4k
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
=(4k^2+9K^2-16k^2)/12k^2
=(4+9-16)/12
=-1/4

ⅢsinA:sinB:sinC=3:2:4,
而,sinA:sinB:sinC=a:b:c,
a=3,b=2,c=4,
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/4,
sinC=√[1-(cosC)^2]=√15/4.

Answer 2

令sinA=3k，
则sinB=2k,sinC=4k,
设三角形ABC中A、B、C对应的边为a、b、c，
则根据正弦定理有：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
可得
a=c*sinA/sinC=3c/4,
b=c*sinB/sinC=2c/4=c/2,

所以由余弦定理可得
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
=[(3c/4)^2+(c/2)^2-c^2][2*(3c/4)*(c/2)]
(分子分母同时除以c^2)
=(9/16+1/4-1)/(3/4)
=-3/16*(4/3)
=-1/4