Question

已知抛物线与X轴交于A(-1,0)B(3,0)两点,与Y轴交于点C(0,3)

如图,已知抛物线与X轴交于A(-1,0)B(3,0)两点,与Y轴交于点C(0,3)(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧等的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？存在求出P点坐标。（3）若点M是抛物线上一点，以B'C'D'M为顶点的四边形是直角梯形，求出点M的坐标。
要有过程

Answer 1

⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为 y=ax2+bx+3(a不等于0）
根据题意，得
a-b+3=0
9a+3b+3=0
解得 a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3
⑵存在
由y=-x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)
根据勾股定理
得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2
即y＝4－x
又P点(x,y)在抛物线上，∴ 4－x=-x2+2x+3，即 x2-3x=1=0
解得 x=（3加减根号5）/2，（3-根号5）/2小于1 ，应舍去
∴ x=（3+根号5）/2
∴ y=4-x=（5-根号5）/2，即点P坐标为 =（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2）
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）
∴符合条件的点P坐标为（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2） 或（2，3）
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），
根据勾股定理,得CB＝3倍根号2 ,CD＝根号2 ,BD＝2倍根号5
∴CB2+CD2=BD2=20
∴∠BCD＝90°
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中
∵CF＝DF＝1
∴∠CDF＝45°
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）
∴DM‖BC
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD＝90°及题意可知
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）

Answer 2

（1)设f(x)=ax^2+b^x+c;
由C(0,3)=>f(0)=c=3;
又A(-1,0)&B(3,0)
=>在方程ax^2+b^x+c=0中
x1=-1,x2=3,用韦达定理
=> x1+x2=-b/a=2 &
x1*x2=c/a=-3
=>a=-1,b=2
=>f(x)=-x^2+2x+3
(2)根据(1)得到的函数式，
=>D(1,4)
用“五点法”将函数图像做出,
连接DC，假设存在这样的等腰三角形PDC
I:当DC为腰时，以C为圆心DC为半径画圆，该圆与抛物线在C点左下方有一交点记为P1点，△P1DC符合题意，假设改点坐标为（X,Y);
利用改点横纵坐标符合Y=-x^2+2x+3并利用线段P1C=DC通过点点距离公式可求出P1点的确切坐标（自己计算吧~别折磨我了，最讨厌计算）
II:当DC为腰，以D为圆心DC为半径做圆，根据图像可知该圆与抛物线的交点正好是C关于对称轴轴对称的点，=>该点P2（2，3）；
III:当DC为等腰△的底时，作DC的中垂线L，L与抛物线有2交点，即P3&P4，直线L的方程经计算为：Y=-X+4,至于P3&P4点的坐标还是请楼主自己联立方程组解吧（加减乘除而已~~）
（3）：又要分情况讨论...（鄙视出题者，楼主体谅体谅我吧，第三问我就不写太详细了）
I:因为DC垂直于BC，
过D点作直线L1平行于BC，
L1与抛物线交点即M点(2,3)，画个图您就明白了
后面还有几种情况好像都不可能，赶时间回的这个贴，就到这了，
希望楼主能够受到启发而自己完成剩下的举手可就的工程！！
绝对原创啊，采纳吧

Answer 3

1)由于抛物线与x轴相较于A(-1,0),B(3,0)两点，所以设y=a(x+1)(x-3),与y轴交与C（0，3），所以x=0时y=3,可解得a=-1；所以抛物线解析式为y=-x²+2x
+3
2)
存在，设在抛物线上P1与C对称，可以求得P1(2,3);
D(1,4),CD
=√2,P1D=
√2,所以CD=P1D,所以P1就是所求的点P,所以存在点P(2,3)△PDC是等腰三角形
3）B(3,0),C(0,3),D(1,4),所以BC=3√2
,BD=2√5
,CD=√2,满足勾股定理，所以CD和BC垂直，所以过点D做BC的平行线，交抛物线与点M,则以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形。直线BC方程为y=-x+3,所以设DM方程为y=-x
+b,代入D可得1=-4+b
,b=5;所以DM方程为y=-x+5,与抛物线联立可以求出M(2,3).