Question

已知:正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC于点M,N

当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，线段BM，DN和MN之间又怎样的数量关系？加以证明

Answer 1

在MB的延长线上，截得BE=DN，连接AE
易证△ABE≌△ADN
∴AE=AN
∴∠EAB=∠NAD
∵∠BAD=90°,∠NAM=45°
∴∠BAM+∠NAD=45°
∴∠EAB+∠BAM=45°
∴∠EAM=∠NAM
又AM为公共边
∴△AEM≌△ANM
∴ME=MN
∴ME=BE+BM=DN+BM
∴DN+BM=MN

Answer 2

延长CM到E,使BE=DN,连接AE
因为 AB=AD
BE=DN
∠ABE=D=90度
所以 三角形ABE全等于三角形ADN
所以 AE=AN
∠BAE=∠DAN
因为 ∠BAD=90度
∠MAN=45度
所以 ∠DAN-∠MAB=45度
所以 ∠BAE-∠MAB=45度
所以 ∠EAM=45度=∠MAN
因为 AE=AN
∠EAM=∠MAN
AM=AM
所以 三角形EAM全等于三角形NAM
所以 EM=MN
因为 EM=EB-BM=DN-BM
所以 MN+MB=DN

Answer 3

谢了

Answer 4

请阅读下列材料：
问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
小聪同学的思路是：延长CB至E使BE=DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；
（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN=4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长． ：（1）BM+DN=MN；

（2）DN-BM=MN．
理由如下：
如图，在DC上截取DF=BM，连接AF．
∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°，
∴△ABM≌△ADF （SAS）
∴AM=AF，∠MAB=∠FAD．
∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，
即∠MAF=∠BAD=90°．
又∠MAN=45°，
∴∠NAF=∠MAN=45°．
∵AN=AN，
∴△MAN≌△FAN．
∴MN=FN，
即 MN=DN-DF=DN-BM；

（3）∵正方形的边长为16，DN=4，
∴CN=12．
根据（1）可知，BM+DN=MN，
设 MN=x，则 BM=x-4，
∴CM=16-（x-4）=20-x．
在Rt△CMN中，
∵MN2=CM2+CN2，
∴x2=（20-x）2+122．
解得 x=13.6．
∴MN=13.6cm．