Question

有关于泰勒级数的问题！

一个函数展开成泰勒级数后，用什么方法证明它是收敛级数？

Answer 1

展开后是一个函数项级数，它有收敛区间，也就是说，当自变量x在一定范围内级数是收敛的，当自变量x超出一定范围级数就是发散的。

要先求收敛半径，再判断端点情况。

还是举个例子吧：

y=lnx在x=0点展开：
lnx=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+...

求收敛半径：
lim{n->无穷大} |An+1/An|
=lim{n->无穷大} |n/n+1|
=1

判断端点：
当x=-1时，原级数是调和级数，发散。
当x=1时，原级数是一个交错级数，容易证明收敛。

所以收敛域是(-1,1].

也就是说，当x属于(－1.1]时，
lnx=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+...
当x不属于(－1.1]时，lnx是不能展开成级数的。比如
ln10=10-10^2/2+10^3/3-...
这个式子是错的，左边是个确定的数ln10，但右边发散的，两者不等。