Question

高一数学必修四 向量及三角函数方面问题

1、向量OA=（cos75°，sin75°）向量OB=（cos15°，sin15°），求向量AB。
2、向量a=（sinx，cosx），向量b=（根3×cosx，cosx），f(x)=2×向量a×向量b-1，求单增区间。
3、知sinα=3/5 ，α属于（π/2，π），tan(π-β)=1/2，求tan(α-2β)的值

Answer 1

1.向量AB=OB-OA=(cos15-cos75,sin15-sin75),
而,cos15-cos75=-2sin(15+75)/2*sin(15-75)/2
=-2*sin45*sin(-30)
=√2/2.

sin15-sin75=2*cos(15+75)/2*sin(15-75)/2
=-√2/2.
则,向量AB=(√2/2,-√2/2).

2.向量a*b=√3*sinx*cosx+cos^2x,
f(x)=2*ab-1
=2√3*sinx*cosx+2cos^2x-1
=√3*sin(2x)+cos(2x)
=2[sin(2x)*√3/2+cos(2x)*1/2]
=2sin(2x+∏/6).
单增区间是:
2k∏-∏/2≤2x+∏/6≤2k∏+∏/2,
即,4k∏-∏/3≤x≤4k∏+∏/6.

3.α属于（π/2，π），sinα=3/5 ,
cosa=-4/5,
tana=sina/cosa=-3/4.

tan(π-β)=1/2,
tanβ=-1/2,
tan2β=(2tanβ)/[1-tan^2(β)]=-4/3.

tan(α-2β)=[tana-tan2β]/[1+tana*tan(2β)]
=7/24.