初中数学几何题（旋转）——200高分20分钟悬赏！
大家一定要给我讲懂，用初中知识！不要抄袭答案！我知道是2，但一定要有过程！谢谢
再来一道：
已知Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=3,BC=5,以AB为边向外作正方形ABEF，求正方形中心O与点C的连线长。
一定要两道哦！还要快！谢谢
好感动……虽然我已经做完了，但还是要感谢你们…… 展开
题目一其实要求的是在等腰直角三角形ABC内一点P，使得AP+BP+CP最小，这个点是费马点,有关费马点的特性与证明你可以到其他网站看看，我这里提供一个参考链接：http://www.mathchina.com/Cgi-bin/topic.cgi?forum=5&;topic=2554
费马点特性：与三角形的三个顶点所连的三个夹角等于120°；
费马点证明（技巧性很高）：在△ABC中任取一点P，将△APB绕点B逆时针旋转60°得到△A1BP1，则A1P1=AP，P1P=BP1=BP，从而PA+PB+PC=A1P1+P1P+PC<=A1C，（当且仅当A1、P1、P、C共线，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时取等号）；
费马点做法：以AB，BC为边分别向正方形外作等边三角形ABC'和BCA'，连AA'和CC'交于P，这个点其实就是所要求的点.
解题：
延长AP与BC相交于E，容易知道，E为BC中点，且AE垂直于BC，∠BPE=60°
设三角形的腰为x，即AB=AC=x，则BE=√2x/2,
BP=CP=BE*2/√3,PE=BE/√3
AP=AE-PE=BE-PE=√2x/2(1-1/√3)
AP+BP+CP=2√2x/2√3+√2x/2(1-1/√3)=√2+√6，得x=2；
问题2：这道题明显要硬算的。应该没有什么技巧。
还要应用三角形求边公式：c^2=a^2+b^2-2abcosC,这个好像是高一的知识，但其实你是绕不开的，初中能靠辅助线做，但最终还是先把这个公式证明了一遍,然后做出来的。没有什么意义.
CO^2=AC^2+AO^2-2AC*AOcosA,
AC=3,BC=5,由勾股定理得AB=√34（出题的人够无聊，干嘛BC不为4呢，这样好算！！！），AO=AB/√2=√17
CO^2=9+17-2*3*√17cos∠CAO=26-6√17cos(45°+∠CAB）=26-6√17（cosAcos45°-sinAsin45°)=26-6√17*√2/2(cosA-sinA)=26-3√34(3/√34-5/√34)=26+3√34*2/√34=32
∴CO=4√2
①易知，E在∠B的平分线上。取坐标系，使B（0,0）,A（a.0）,C（0.a）.
设E（x,x）,则y=√2x＋2√[x²+（a-x）²]有最小值√2+√6.
从y′=0,可以算得:x＝1/2-√3/6.此x代入上式。
√2x＋2√[x²+（a-x）²]＝√2+√6.
即得a=2.
（“易知”是可以证明的，用f（x,y）.f′x＝0,f′y＝0.比较即得x=y）
②易算，AB＝√34.OA=OB＝√（34/2）.从余弦定理：
OC²=3²+34/2+2×3×cos∠B＝5²+34/2-2×5×cos∠B
解得cosB＝√(2/34）.代入上式。OC＝4√2.
如这个网址图
这个问题首先要求的是在三角形ABC内一点G，使得AG+BG+CG最小，这个点是个费马点（关于这个详细可以到网上去看看，费马点与三角形的三个顶点所连的三个角都等于120度）我这里只给你解的过程，并稍作说明
如图，以AB，BC为边分别向正方形外作等边三角形ABE和BCF，连AF和CE交于G，这个点其实就是所要求的点，（可以将AG旋转60度到AK，再说明三角形AKE全等于CGB，这样EK=BG，KG=AG，AG+BG+CG=EC=√2+√6，由四点共线得到最短）
过E作EM、EN分别垂直于CB、AB，设正方形边长为X
则EM=1/2X，EN=√3／2（X）
EM平方+MC平方=EC平方
解方程得X=2
E到A、B、C距离的最小值为√2+√6.所以E是正方形ABCD的中心点。
自己看图片把
这两个题用常规方法都能做（你也看到了，都帮你做出来了），如果学过奥赛就简单多了。
1.用费马点解决（不是我抄，的确这个最简单），根据对称性，E肯定在BD上，设边长x,AE=BE=√6/3,CE=√2/2—√6/3,解得x=2
2.这题用奥赛内容做超快（上面死算的别吐血啊），AB=√34,AO=BO=√17,下面要用到个定理，对边的乘积和等于对角线的乘积！√34*CO=8√17,解得CO=4√2！
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