Question

已知函数f(x)=（2^x-a)²+（2^-x+a）²,x∈[-1,1]

已知函数f(x)=（2^x-a)²+（2^-x+a）²,x∈[-1,1]
（1）求f(x)的最小值（用a表示）；（2）关于x的方程f(x)=2a²有解，求实数a的取值范围
不好意思，又要劳烦了啊~

Answer 1

解答：
（1）
∵ x∈[-1,1]
∴ 2^x∈[1/2,2]
令t=2^x-2^(-x),是增函数

∴ t∈[-3/2,3/2]
则 y=(2^x)²+(2^(-x))²-2a*[2^x-2^(-x)]+2a²
=t²+2-2at+2a²
=(t-a)²+a²+2
① a≤-3/2，则t=-3/2时，y有最小值2a²+3a+17/4
② -3/2<a<3/2， 则当t=a时，y有最小值a²+2
③ a≥3/2，则当t=3/2时，y有最小值2a²-3a+17/4
{2a²+3a+17/4, a≤-3/2
∴ 最小值={a²+2, -3/2<a<3/2

{2a²-3a+17/4, a≥-3/2
（2）

① a≤-3/2，f(x)≥2a²+3a+17/4
∴ 2a²≥2a²+3a+17/4
∴ a≤-17/12
即 a≤-3/2
② -3/2<a<3/2，f(a)=a²+2
f(-3/2)=2a²+3a+17/4
f(3/2)=2a²-3a+17/4
函数值先减后增
∴ a²+2≤2a²≤2a²+3a+17/4或 a²+2≤2a²≤2a²-3a+17/4
∴ √2≤a<3/2或-3/2<a≤-√2
③ a≥3/2，f(x)≥2a²-3a+17/4
∴ 2a²-3a+17/4≤2a²
∴ a≥17/12
即 a≥3/2
综上 a的范围是(-∞，-√2]U[√2，+∞)