Question

当0<x<π/2时，tanx>x+1/3x^3,用单调性证明不等式

Answer 1

设f(x)=tanx-x-1/3 x^3

则f'(x)=1/(cosx)^2 -1-x^2

则f"(x)=2sinx/(cosx)^3-2x

则f'''(x)=[6-4(cosx)^2]/(cosx)^4-2

=(令a=(cosx)^(-2)) 6a^2-4a-2

所以a<1时f'''(x)<0，a>1时f'''(x)>0

又a=(cosx)^(-2)>1，所以f'''(x)>0

所以f''(x)递增，又f''(0)=0

所以f''(x)>0，所以f'(x)递增

又f‘(0)=0，所以f'(x)>0，所以f(x)递增

又f(0)=0，所以f(x)>0

即 tanx-x-1/3 x^3>0

tanx>x+1/3x^3

扩展资料：

不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：.

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

（2）反证法：正难则反。

（3）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

（4）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。

Answer 2

设f(x)=x+x³/3-tanx
f'(x)=1+x²-1/cos²x
=x²-tan²x
=(x+tanx)(x-tanx)
∵0＜x＜π/2
∴x+tanx＞0,x-tanx＜0（可以求导来证）
∴f'(x)＜0
∴f(x)在(0,π/2)上单调递减
∴f(x)＜f(0)=0
∴x+x³/3＜tanx

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追问

tanx-x<0和x-tanx<0有差别吗

追答

tanx-x＞0，x-tanx＜0

追问

那这道题如果是这样
令f(x)=tanx-x-1/3^3
f'(x)=sec^2-1-x^2
=tan^2-x^2
(tanx+x)(tanx-x)
后面应该怎么办

追答

同样的，∵0＜x＜π/2
∴x+tanx＞0, tanx-x＞0
∴f'(x)＞0
∴f(x)在(0,π/2)上单调递增
∴f(x)＞f(0)=0
∴tanx＞x+x³/3

追问

谢谢，我发几道题给你，你能帮我解答一下吗

追答

先把这题采纳了，其它的我有时间会答的

追问

我急需这几道题的答案，我可以先提高悬赏，帮我解答后，一起采纳，行吗？真的，急需这几题的答案。

追答

我不缺财富，时间有限。