Question

已知函数f(x)=x²－2x,g(x)=x²－2x,x∈[2,4]

已知函数f(x)=x²－2x,g(x)=x²－2x,x∈[2,4].(1)求f(x),g(x)函数的值域；（2）函数H(x)=f(x－c)+g(x－c)定义域为[8,10]，求c；（3）函数H(x)=f(x－c)+g(x+c) （c≤0）的最大值为32，求c的值。

Answer 1

解：（1）函数f（x）的值域[-1，+∞）；函数g（x）的值域为[0，8]。
（2）设H(x)定义域M，由题意得 M={x|2≤x+c≤4}，即M={x|2-c≤x≤4-c}，
所以，有2-c=8，所以c=-6。
（3），
因为c≤0，所以函数在[2-c，4-c]上增函数，
由已知函数的最大值32，所以H(4-c)=24，
有，解得c=4（舍去）或c=-1，
所以c= -1。

Answer 2

1.先判断f(x)=x²－2x的最小值应该是出现在x=1处，所以x∈[2,4]对应的值域分别将2和4带入，为f(x)∈[0,8]，同理g(x)∈[0,8]；
2.函数H(x)=f(x－c)+g(x－c)定义域为[8,10]，也就是说x-c∈[8,10]，所以c=-6

3.将函数是展开，可以得到H(x)=2x²－4x+2c²，定义域为x∈[2-c,c+4]，由c〈0，最大值出现在x=4+
c时，所以c²+3c-4=0，所以c=1（c〈0条件下不可能）或c=-4。即c=-4

Answer 3

1)
∵f(x)=x²-2x
-b/2a=1
且二项系数于零
∴f(x)区间(-∞,1)单调递减,区间(1,+∞)单调递增
∵g(x)=x²-2x
x∈[2,4]
-b/2a=1且二项系数于零
∴g(x)区间(-∞,1)单调递减,区间[2,4]单调递增
2)
∵f(1)=-1
∴f(x)min=-1
∵g(x)区间[2,4]单调递增
∴g(x)min=g(2)=0

Answer 4

(1)设2<=x1<x2<=4
f(x1)-f(x2)=x1^2-2x1-x2^2+2x2
=(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2-2)
x1-x2<0
f(x1)<f(x2)为增函数
(2)如上为增函数