Question

已知函数f(x)=1/3 x^3+(-1/x+2+m)x^2,在区间(1,3)上不是单调函数,求m的取值范围

请详细作答，万分感谢！！！

Answer 1

f(x)=(1/3)x^3-x+(m+2)x^2
f'(x)=x^2-1+2(2+m)x=0 的两个解为 x1=-2-m-(5+4*m+m^2)^(1/2)，x2=-2-m+(5+4*m+m^2)^(1/2)
x<x1或x>x2时 f'(x)>0 f(x)单增
x1<x<x2时 f'(x)<0 f(x)单降
f(x)在【1,3】 不单调，说明x1属于（1,3）或x2属于（1,3）
求解1<x1<3 无解
求解1<x2<3 可得到m<-2 或m>-10/3 这就是m的范围

下面是求不等式过程
求解1<x2= -2-m+(5+4*m+m^2)^(1/2) 得到 (5+4*m+m^2)^(1/2)>m+3
所以5+4*m+m^2>(-m-3)^2=m^2+6m+9
2m+4<0 m<-2
求解x2= -2-m+(5+4*m+m^2)^(1/2)<3 得到 (5+4*m+m^2)^(1/2)<m+5
所以5+4*m+m^2<m^2+10m+25
6m+20>0 m>-10/3

求解x1=-2-m- (5+4*m+m^2)^(1/2)>1
有(5+4*m+m^2)^(1/2)<-3-m 则 5+4*m+m^2<(-3-m)^2=9+6m+m^2
有 -2m-4<0 -m-2<0 此时x1=-2-m- (5+4*m+m^2)^(1/2)<0 无解