Question

有关麦克劳林公式的问题

图中例题是通过导数来求麦克劳林公式，但是求原函数的5阶麦克劳林公式，导数不应该是4阶吗？我标记的地方不应该上面是o(x^4),下面是o(x^5)吗？例题是不是错了啊，求大神帮我解答一下。

Answer 1

用导数定义来求分段函数在分段点处的导数。

以下用的导数定义是

首先，当x≠0时，可以用导数公式求出f’（x）= [ xxsinx-2x（1-cosx）] / x^4★（后面用）

当x=0时，用导数定义来求出

（求的过程中用到洛必达法则）

于是，再用导数定义来求出

（求的过程中也用到洛必达法则）。

Answer 2

例题没错，它略去了一些必要说明。你若把第一个展式多写几项就会发现后面紧跟着的次数最低是x^6项，根本没有x^5项，因此结果应是o(x^5)。
严格的证明可以考察1/(1+x^2)-(1-x^2+x^4)，看它是不是x^5的高阶无穷小。

追问

不好意思，还是不太明白，皮亚诺余项x幂的次数不是和它的麦克劳林公式的阶数是一样的吗？

追答

回忆一下正弦和余弦的展式

你说的那是一般公式，但对于一些特殊函数，余项的阶数可以由更精切一些的估计。第一次的回答中，“严格证明”之前的内容是一个直观解释(这种直观来自于经验)，“严格证明”之后则是给出了结论的验证方法，你只要计算极限即可：

追问

谢谢你的耐心帮助，不过能不能加下qq什么的，我还是不太理解，想再多请教一下

追答

好了，我在补充说一下，当一个函数f(x)=o(x^5)时，那么f(x)=o(x^4)这个结论也是对的。因此二者并不矛盾。但是我要强调的是f(x)=o(x^5)对函数的刻划更精细，他说明函数不光趋于零的速度比x^4快，其实它还比x^5趋于零的速度快。一般公式并没有错，但有些时候因为一般公式不够精细，偶尔会不够用，因此，越精细的刻划越保险。

比如如下极限问题如果用一般公式作一阶展开的话

那么我们无法计算最后的极限。

但如果用后面更精细的公式作一阶展开则没有问题

 

（当然你要是作三阶展拉的话，那么两公式用起来就没什么差别）。

 

我对腾讯好感不大，qq就算了，在这里回答也能让大家多借鉴，符合我答题的初衷。抱歉了~~