Question

根据函数极限定义证明：函数f(x)当xn时极限存在的充要条件是左极限，右极限各自存在并且相等。

Answer 1

极限 lim(x→x0)f(x) 存在
<==> 对于任给的 ε>0，总存在 δ>0，使得对任意的 x：若 0<|x-x0|<δ，则成立 |f(x)-A|<ε
<==> 对于任给的 ε>0，总存在 δ>0，使得对任意的 x：若 0<x-x0<δ，则成立 |f(x)-A|<ε；
且若 0<x0-x<δ，则成立 |f(x)-A|<ε
<==> 极限 lim(x→x0+)f(x) 及极限 lim(x→x0-)f(x) 存在。

Answer 2

等一下

追答

充分性：（已知左右极限存在且相等，证明极限存在）
设lim[x→x0+] f(x)=A，lim[x→x0-] f(x)=A
由lim[x→x0+] f(x)=A，则对于任意ε>0，存在δ1>0，当00，当 -δ2x0，则00，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立
此时有：0<x-x0<δ时，|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0+] f(x)=A；
同理，此时有：-δ<x-x0<0 时，|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0-] f(x)=A。

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好评吧

追问

那必要性呢？

追答

按照严格的极限定义证明如下

证明

x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立

左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε

右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε

所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时

-εx0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

这下可以了吧，亲

追问

可你证的还是充分性啊！只是换了个说法而已。

追答

啊啊？我真的想哭了，我已经尽力了，就凭我给你写了这么多，我觉得你也得给我好评吧，亲，求求你了