Question

点o在三角形Abc内部 且向量oa+2ob+3oc=0 则三角形Abc与三角形Aoc的比为？

Answer 1

首先做三角形AEF 做出其重心o，连接OA，OE，OF
（等下你就明白为什么先作AEF而不是ABC了）
取OB＝1/2OE OC = 1/3OF
因为（向量）OA+OE+OF=0
所以向量oa+2ob+3oc=0
因为O为AEF的重心 所以OAE，EOF，AOF面积相等
三角形OAB=1/2OAE AOC=1/3AOF OBC = 1/4OEF
所以三角形Abc与三角形Aoc的比为（1/2+1/3+1/4）/(1/3)
=13/4

Answer 2

向量OA+2OB+3OC=0,则有
向量AO=2*向量OB+3*向量OC,.........(1)

而,向量OB=向量(AB-AO).............(2)
向量OC=向量(AC-AO)................(3)

把(2),(3)式代入(1)式得,
向量AO=向量(2/6*AB+3/6*AC).

在AB边上作AE=2/6AB,在AC边上作AF=3/6*AC.
则有,向量AO=向量AE+向量AF=AE+EO.

而在三角形AEO中,
AO/sinAEO=EO/sinBAO=AO/sinBAC,
EO*sinBAC=AOsinBAO................(4)式

S-ABC=1/2*|AB|*|AC|*sinBAC,
S-BAO=1/2*|AB|*|AO|*sinBAO.
S-ABC/S-BAO=|AC|*sinBAC/|AO|*sinBAO.......(5)
把(4)式代入(5)式得,
S-ABC/S-BAO=|AC|*sinBAC/|EO|*sinBAC
=AC/EO,
而,EO=AF=3/6AC=1/2*AC.
则,S-ABC/S-BAO=AC/EO=2/1.

则三角形Abc与三角形Aoc的比为2:1.