Question

O点在三角形ABC中，且向量OA+2OB+3OC=0，求三角形ABC与AOC面积的比值

O点在三角形ABC中，且向量OA+2OB+3OC=0，求三角形ABC与AOC面积的比值

Answer 1

如图，延长 OB 至 B1 ，延长 OC 至 C1 ，使 BB1=OB ，CC1=2OC ，

由已知得向量 OA+OB1+OC1=0 ，因此 O 是三角形 AB1C1 的重心，

所以 SAOB1=SAOC1=SB1OC1 ，令其为 S ，

则 SAOB=1/2*SAOB1=S/2 ，SAOC=1/3*SAOC1=S/3 ，

SBOC=1/6*SB1OC1=S/6 ，

则 SABC：SAOC=(S/2+S/3+S/6)：(S/3)=3：1 。

Answer 2

3:1
建立坐标系，A为（0,0），C为（x1,0）,B为（x2,y2）,O为（x，y），带入向量的方程，可解得y2 = 3y

面积比即为3:1

Answer 3

作OE＝OA+3OC（＝-2OB）∴B,O,E共线，
S⊿AOC＝S（AODE）/6.S（ABCO）＝S（AOCE）/2[仔细想想，为什么？]
S（AOCE）＝（1/2+1/6）S（AODE）＝（2/3）S（AODE），
∴S（ABCO）＝S（AODE）/3＝2S⊿AOC。
S⊿ABC＝S（ABCO）+S⊿AOC＝3S⊿AOC。
三角形ABC与AOC面积的比值是3：1