Question

高中数学解析题

已知矩形abcd的四条边都与椭圆c想切,设直线AB方程y=kx+m,求矩形ABCD的面积的最大最小值。c方程为x^2+4y^2=4

Answer 1

把y=kx+m代入x^2+4y^2=4得
x^2+4(k^2x^2+2kmx+m^2)=4,
整理得(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0,
△/16=4k^2m^2-(1+4k^2)(m^2-1)
=1+4k^2-m^2=0,
m=土√(1+4k^2),
∴AB与CD的距离AD=2√(1+4k^2)/√(1+k^2),
ABCD是矩形，
以-1/k代k,得AB=2√(k^2+4)/√(k^2+1),
∴矩形ABCD的面积S=AB*AD=4√[(k^2+4)(1+4k^2)]/(k^2+1),
设u=k^2+1>=1,则
S=4√(4u^2+9u-9)/u=4√(4+9/u-9/u^2)
=4√[-9(1/u-1/2)^2+25/4],
u=2时S|max=10,u=1时S|min=8.