Question

已知数列{a n }满足： a 1 = 1 2 ， 3(1- a n+1 ) 1- a n = 2(1+ a

已知数列{a n }满足： a 1 = 1 2 ， 3(1- a n+1 ) 1- a n = 2(1+ a n ) 1+ a n+1 （n∈N * ），数列{b n }=1-{a n } 2 （n∈N * ），数列{c n } ={ a n+1 } 2 -{a n } 2 （n∈N * ）．（1）证明数列{b n }是等比数列；（2）求数列{c n }的通项公式；（3）是否存在数列c n 的不同项c i ，c j ，c k （i＜j＜k），使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项c i ，c j ，c k （i＜j＜k）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由已知a n ≠±1，b n ≠0（n∈N * ） b 1 = 3 4 ，3（1-a n+1 2 ）=2（1-a n 2 ） a n+1 2 = 1 3 + 2 3 a n 2 ， b n+1 b n = 2 3 (n∈ N * ) 所以{b n }是 3 4 为首项， 2 3 为公比的等比数列 （2） b n = 3 4 ?( 2 3 ) n-1 (n∈ N * ) a n 2 =1- b n =1- 3 4 ?( 2 3 ) n-1 (n∈ N * ) c n = a n+1 2 - a n 2 = 1 4 ?( 2 3 ) n-1 (n∈ N * ) （3）假设存在c i ，c j ，c k 满足题意成等差2c j =c i +c k 代入得 2? 1 4 ?( 2 3 ) j-1 = 1 4 ?( 2 3 ) i-1 + 1 4 ?( 2 3 ) k-1 2 j-i+1 = 3 j-i + 2 k+j-i 2 j-i+1 - 2 k+j-i = 3 j-i ，左偶右奇不可能成立．所以假设不成立，这样三项不存在．