Question

已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点

已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为______．

Answer 1

∵A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位线，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为

1

2

，
∵A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁且相似比为

1

2

，
∴△A₂B₂C₂∽△ABC的相似比为

1

4

依此类推△A_nB_nC_n∽△ABC的相似比为

1

2n

，
∵△ABC的周长为1，
∴△A_nB_nC_n的周长为

1

2n

．
故答案为：

1

2n

．