Question

已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠k2，k∈Z}且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)＝?1f(x)，当0＜x＜12时，f

已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠k2，k∈Z}且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)＝?1f(x)，当0＜x＜12时，f（x）=3x．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）求f（x）在区间(2k+12，2k+1)(k∈Z）上的解析式；（3）是否存在正整数k，使得当x∈(2k+12，2k+1)时，不等式log3f（x）＞x2-kx-2k有解？证明你的结论．

Answer 1

（1）由f(x+1)＝?

1

f(x)

得f(x+2)＝?

1

f(x+1)

＝f(x)，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函数．（5分）
（2）当x∈(

1

2

，1)时，1?x∈(0，

1

2

)，
∴f（1-x）=3^1-x．     （7分）
而f(1?x)＝?

1

f(?x)

＝

1

f(x)

，
∴f（x）=3^x-1．       （9分）
当x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）时，x?2k∈(

1

2

，1)，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                      （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k即为x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0．                          （13分）
令g（x）=x²-（k+1）x+1，对称轴为x＝

k+1

2

＜2k+

1

2

，
因此函数g（x）在(2k+

1

2

，2k+1)上单调递增．         （15分）
因为g(2k+

1

2

)＝(2k+

1

2

)2?(k+1)(2k+

1

2

)+1＝(2k+

1

2

)(k?

1

2

)+1，又k为正整数，
所以g(2k+

1

2

)＞0，因此x²-（k+1）x+1＜0在(2k+

1

2

，2k+1)上恒成立，（17分）
因此不存在正整数k使不等式有解．                     （18分）