Question

如图：已知P为⊙O直径AB上任意一点，弦CD过P且与AB交成45°角．求证：PC2+PD2为定值

如图：已知P为⊙O直径AB上任意一点，弦CD过P且与AB交成45°角．求证：PC2+PD2为定值．

Answer 1

证明：当点p与O点重合时，
PC²+PD²=2圆O的半径的平方
当点P为一般情况时，
作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC和OD，
可知∠NDP=∠MCP=45°
又OC=OD，则∠ODP=∠OCP
∴∠NDO=∠COM
∴Rt△ODN≌Rt△COM
∴ON=CM=PM，OM=ND=PN
又∵OC²=CM²+OM²，OD²=DN²+ON²
∴OC²=CM²+PN²，OD²=DN²+PM²
∴OC²+OD²=CM²+PN²+DN²+PM²=PC²+PD²，
因此PC²+PD²=2圆O的半径的平方（为定值）．