四棱锥S-ABCD的三视图和直观图如图所示,其中主视图和左视图为两个全等的直角三角形,俯视图为正方形,M
四棱锥S-ABCD的三视图和直观图如图所示,其中主视图和左视图为两个全等的直角三角形,俯视图为正方形,M,N,P分别为AB,SA,AD的中点.(1)求四棱锥S-ABCD的...
四棱锥S-ABCD的三视图和直观图如图所示,其中主视图和左视图为两个全等的直角三角形,俯视图为正方形,M,N,P分别为AB,SA,AD的中点.(1)求四棱锥S-ABCD的体积和表面积;(2)求证:直线MC⊥平面BPN.
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(1)解:由三视图知SD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,AB=1,SD=2
∴底面ABCD的面积S=1×1=1
VS-ABCD=
×S×SD=
×1×2=
又由题意知AB⊥AD,AB⊥SD,且AD∩SD=D
∴AB⊥面SAD
∴AD⊥SA
同理可证BC⊥SC
∴△SAB,△SBC是直角三角形
∴S表=S△SAD+S△SCD+S△SAB+S△SBC+S=
×AD×SD+
×CD×SD+
×AB×SA+
×BC×SC+AB×BC
=
×1×2+
×1×2+
×1×
+
×1×
+1=3+
(2)证明:连接PN,PB,设PB∩CM=O
则PN∥SD
∴PN⊥面ABCD
又MC?面ABCD
∴PN⊥MC
∵在正方形ABCD中,P、M分别是AD、AB的中点
∴△PAB≌△MBC
∴∠PBA=∠MCB
又∠MCB+∠BMC=90°
∴∠PBA+∠BMC=90°
∴PB⊥MC
又PN∩PB=B,且PN、PB?面BPN
∴MC⊥面BPN
∴底面ABCD的面积S=1×1=1
VS-ABCD=
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又由题意知AB⊥AD,AB⊥SD,且AD∩SD=D
∴AB⊥面SAD
∴AD⊥SA
同理可证BC⊥SC
∴△SAB,△SBC是直角三角形
∴S表=S△SAD+S△SCD+S△SAB+S△SBC+S=
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(2)证明:连接PN,PB,设PB∩CM=O
则PN∥SD
∴PN⊥面ABCD
又MC?面ABCD
∴PN⊥MC
∵在正方形ABCD中,P、M分别是AD、AB的中点
∴△PAB≌△MBC
∴∠PBA=∠MCB
又∠MCB+∠BMC=90°
∴∠PBA+∠BMC=90°
∴PB⊥MC
又PN∩PB=B,且PN、PB?面BPN
∴MC⊥面BPN
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