Question

如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD

如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2 ，求AE的长．

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Answer 1

（1）证明见解析 （2）

试题分析：(1)由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则有∠B+∠BAD=90°，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，则可得到△CDE∽△CAD； （2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2 ，由勾股定理可得OC=3，则CD=OC﹣OD=2，由△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE的长，从而可得AE的长 试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵AC为⊙O的切线， ∴BA⊥AC， ∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°， ∴∠B=∠CAD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， 而∠ODB=∠CDE， ∴∠B=∠CDE， ∴∠CAD=∠CDE， 而∠ECD=∠DCA， ∴△CDE∽△CAD； （2）∵AB=2， ∴OA=1， 在Rt△AOC中，AC=2 ， ∴OC= =3， ∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2， ∵△CDE∽△CAD， ∴ = ，即 = ， ∴CE= ． ∴AE=AC-CE=